Η δύναμη των qbits

Ο εγκέφαλός μας (και τα αισθητήρια όργανα που εξαρτώνται από αυτόν) έως σήμερα είναι καλωδιωμένος έτσι ώστε να καταλαβαίνει αυτά που συμβαίνουν στον μακρόκοσμο και να αντιδρά σε αυτά. Δεν μπορεί να δει τα ηλεκτρόνια ούτε μπορεί να αντιδράσει στην αρχή της αβεβαιότητας». Αυτά ακούγεται να λέει σε μια διάλεξη-μάθημα πριν από αρκετά χρόνια ο Λίοναρντ Σάσκιντ, ένας από τους διαπρεπέστερους φυσικούς που δίδαξε Κβαντική Μηχανική σε ιδρύματα όπως το Πανεπιστήμιο Στάνφορντ.

Ετσι όπως το έθεσε το θέμα, δεν απέκλεισε, ύστερα από αιώνες, να έχουμε ίσως φτάσει να αντιδρούμε πλέον άμεσα και στις συμπεριφορές του μικρόκοσμου. Εως τότε όμως φαίνεται πως θα δουλεύουμε στην κβαντομηχανική όπως ένας ανθρακωρύχος σε μια σκοτεινή στοά. Τα εργαλεία που χρησιμοποιεί είναι αποδοτικά και βγάζουν ολοένα δουλειά, αλλά δεν γνωρίζει τι θα βρει στα επόμενα μέτρα.

Εχουμε ήδη κατακτήσει τη γενικευμένη πρόσβαση στους ψηφιακούς υπολογιστές και έχει γίνει κατανοητό το πόσο μεγάλη θα είναι η διαφορά αν κατασκευαστούν υπολογιστές που η τεχνολογία τους θα βασίζεται στις ιδιότητες των σωματιδίων του μικρόκοσμου (άτομα, ηλεκτρόνια, πρωτόνια, νετρόνια, ιόντα).

Από τα bits στα qbits

Στους συμβατικούς υπολογιστές εκμεταλλευόμαστε ένα σύστημα που βασίζεται σε συνδυασμό δύο καταστάσεων, δηλωμένων αντίστοιχα με τα ψηφία 0 και 1, με φορέα το στοιχείο μνήμης που ονομάζουμε bit. Το ίδιο αυτό σύστημα θέλουμε να εφαρμόζεται και στους πρώτους κβαντικούς υπολογιστές, αλλά εδώ το στοιχείο μνήμης λέγεται qbit (q-uantum bit) και έχει διαφορετική δομή.

Μπορεί, για παράδειγμα, να είναι ένα ηλεκτρόνιο σε ντοπαρισμένο n-τύπου ημιαγωγό υλικό, ανάμεσα σε δύο άτομα, όπου η μία θέση του, κοντά στο ένα άτομο, να αντιστοιχεί στο 0 και η άλλη, κοντά στο άλλο, στο 1. Ή, ακόμη πιο κατανοητά, τα 0 και 1 να αντιστοιχούν στις δύο καταστάσεις του σπιν του ηλεκτρονίου, που, όπως έχουμε εξηγήσει, συμπεριφέρεται ως ένας μικροσκοπικός μαγνήτης δημιουργώντας μαγνητικό πεδίο είτε προς τη μία κατεύθυνση είτε προς την ακριβώς αντίθετη.

Οι δύο καταστάσεις, είτε ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται πιο κοντά σε ένα από δύο ίδια άτομα ή ένα ηλεκτρόνιο σε μία από τις δύο περιπτώσεις του σπιν του, είναι εντελώς ισοδύναμες και αποδεικνύεται πως μπορούμε να θεωρούμε πως αν δεν επιχειρηθεί κάποια ενέργεια επ’ αυτού, θα βρίσκεται και στις δύο καταστάσεις ταυτόχρονα. Αυτή την ταυτόχρονη συνύπαρξη των καταστάσεων τη λέμε υπέρθεση (superposition).

Στη συνέχεια θεωρούμε την περίπτωση δύο ηλεκτρονίων που θα βρεθούν πολύ κοντά το ένα στο άλλο έτσι ώστε το μαγνητικό πεδίο του ενός να αλληλεπιδρά με το πεδίο του άλλου. Τότε μια πιθανή διάταξη είναι τα δύο σπιν να βρεθούν να έχουν αντίθετες φορές. Είτε το ένα προς τα επάνω, το άλλο προς τα κάτω είτε αντίθετα. Και οι δύο είναι πολύ ευνοϊκές καταστάσεις διότι τότε έχουν τη μικρότερη δυναμική ενέργεια. Αλλά πλέον δεν μπορείς να πεις ότι οι δύο αυτές περιπτώσεις διαφέρουν. Βρίσκονται πλέον τα ηλεκτρόνια σε διεμπλοκή (entanglement). Δηλαδή, όσο και αν τα απομακρύνεις, διατηρούν τη σύνδεση-σχέση τους αυτή.

Πρόβλημα!

Με δυο qbits μπορείς να έχεις τις εξής καταστάσεις ως προς τα σπιν των δύο: (κάτω-κάτω ταυτόχρονα), (επάνω-επάνω ταυτόχρονα), (με αντίθετη φορά) και με κατεύθυνση 90 μοιρών ως προς τις προηγούμενες. Επειδή η κάθε περίπτωση συνδέεται με έναν συντελεστή (βάρους =πιθανότητας), έχουμε ότι τα δυο qbits συνδέονται με 4 αριθμητικές τιμές. Τα τρία θα συνδέονται με 2³ =8 και τα τέσσερα με 16.

Προσοχή όμως στο εξής: Αν θελήσουμε να αντιγράψουμε το περιεχόμενο ενός qbit σε ένα άλλο, χάνουμε το περιεχόμενο του πρώτου. Αποδεδειγμένο με ένα θεώρημα της κβαντομηχανικής από το 1970 που ονομάζεται «no cloning theorem». Θεώρημα που απειλούσε να καταστρέψει κάθε ιδέα για κβαντικό υπολογιστή, αφού δεν θα ήταν δυνατόν να διορθώνονται τα λάθη. Ευτυχώς και γι’ αυτή την αδυναμία βρέθηκε λύση αργότερα και τα πράγματα προχώρησαν.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ποιο μπορεί να είναι το μέγιστο γινόμενο ακεραίων θετικών αριθμών που το άθροισμά τους είναι ίσο με το 100; (Με άλλα λόγια, με ποιους αριθμούς συμφέρει να φτιάξουμε ένα άθροισμα που να δίνει 100 αλλά όταν τους πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους το γινόμενο να είναι το μεγαλύτερο δυνατόν.)

2. Πόσοι πρώτοι αριθμοί (δηλαδή που διαιρούνται ακριβώς μόνον με το 1 και τον εαυτό τους) βρίσκονται στην εξής σειρά με άπειρους όρους: 9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876543, 98765432, 987654321, 9876543219, 98765432198, 987654321987…

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ζητούμε έναν τετραψήφιο αριθμό που έχει τη μορφή ααββ, δηλαδή ίδια ψηφία για μονάδες και δεκάδες και ίδια για εκατοντάδες και χιλιάδες, με την υποχρέωση να είναι τέλειο τετράγωνο και με α διάφορο του β. Ο ααββ γράφεται και ως εξής: ααββ=1000α+100α+10β+β=1100α+11β=11(100α+β). Αρα το 11 είναι ένας από τους παράγοντες στους οποίους αναλύεται ο ααββ ή αλλιώς είναι πολλαπλάσιο και του 11. Εξαιτίας αυτού του τελευταίου μπορούμε να γράψουμε και ότι: ααββ=(11κ)2. Αρα τώρα θα ψάξουμε για τον κατάλληλο κ. Θα αρχίσουμε από κ=3. Αυτός δίνει τον πρώτο τετραψήφιο, τον 1089, που όμως δεν μας κάνει. Προχωρούμε και έχουμε για κ=4,5,6,7,8 αντίστοιχα 442, 552, 662, 772, 882 . Το τελευταίο αυτό δίνει: 882=7744.

2. Μπροστά σε έναν σωρό από 500 σπίρτα, ο Α και ο Β αφαιρούν με τη σειρά ο καθένας όσα σπίρτα θέλουν, αρκεί να είναι δυνάμεις του 2 (1,2,4,8,16,…). Κερδίζει όποιος τραβήξει το τελευταίο ή τα τελευταία σπίρτα, αρκεί να είναι δυνάμεις του 2 [το 1 θεωρείται (μηδενική) δύναμη του 2 διότι εξ ορισμού: 20 =1]. Μπορεί κάποιος από τους δύο να έχει εξασφαλίσει τη νίκη από την αρχή; Στα προβλήματα αυτού του τύπου συνήθως ξεκινάμε από το τέλος. Και σκεπτόμαστε το εξής: Αν έχουν μείνει 3 σπίρτα και είναι να τραβήξει ο άλλος έχουμε κερδίσει διότι είτε 1 πάρει είτε 2 (μόνον αυτές τις επιλογές έχει σύμφωνα με τον κανόνα του παιχνιδιού), αυτά που μένουν δίνουν τη νίκη. Αντίθετα αν έχουν μείνει 4 ή 5 και είναι να τραβήξει ο άλλος τότε χάνουμε εμείς. Διότι θα μας αφήσει εκείνος με 3 σπίρτα κάτω. Αν έχουν μείνει 6 και είναι να τραβήξει ο άλλος (με δυνατότητα να πάρει 1 ή 2 ή 4), τότε και πάλι κερδίζουμε εμείς. Αρα θα κερδίσουμε αν από την αρχή καταφέρουμε ο αριθμός των σπίρτων που μένουν κάτω όταν τραβάει ο άλλος να είναι πολλαπλάσιο του 3. Αν για παράδειγμα υποθέσουμε ότι ξεκινούμε εμείς το παιχνίδι και κάτω βρίσκονται 500 σπίρτα, θα πρέπει να πάρουμε την πρώτη φορά 2 σπίρτα οπότε μένουν 498, δηλαδή 3×166. Εδώ σκόπιμα δεν δώσαμε συγκεκριμένο αριθμό για να εξεταστούν και οι δύο περιπτώσεις. Αν ο αριθμός σπίρτων είναι άρτιος ή περιττός. Διότι οι συνθήκες αλλάζουν σε σχέση με το ποιος τραβάει πρώτος.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα