Το μυαλό δεν κάνει διακοπές

Ξεκινώντας ένα παιχνίδι με χαρτιά να μην ξεχνάμε πως η λέξη «τράπουλα» μας έρχεται από τα ιταλικά και εκεί  trappola σημαίνει «παγίδα». Επίσης θα πρέπει (αν και δεν είναι το πιο εύκολο πράγμα στον κόσμο) να εξετάζουμε ποιες είναι οι πιθανότητες να κερδίσουμε. Αν βγαίνει μαθηματικά ότι το ποσοστό επιτυχίας μας είναι λιγότερο από 50%, τότε θα πρέπει να πούμε «ευχαριστώ, δεν θα πάρω» φύλλο. Συνήθως αυτός που προτείνει ένα παιχνίδι έχει εξετάσει πρώτος αυτές τις πιθανότητες και στήνει το παιχνίδι υπέρ του. Ας δούμε δύο παραδείγματα:

1. Σας προτείνουν, αφού ανακατευτεί, να χωριστεί η τράπουλα σε τρεις στοίβες και να βάλετε 20 ευρώ στο ότι τουλάχιστον το πιο επάνω χαρτί σε οποιαδήποτε από τις στοίβες θα είναι φιγούρα (βαλές, ντάμα, ρήγας). Θα τα βάλετε; (Ο υπολογισμός δίνει 55% πιθανότητα να χάσετε.)

2. Υπάρχει όμως και μία ακόμη πιο ελκυστική προσφορά. Από μια καλά ανακατεμένη τράπουλα να τραβήξετε δύο μόνο φύλλα. Αν αυτά δεν είναι 10, βαλές, ντάμα, ρήγας, άσος, τότε κερδίζετε. Και εδώ φαίνεται πως πρέπει να αποφύγετε 20 φύλλα σε ένα σώμα των 52 φύλλων. Είναι οι πιθανότητες με το μέρος σας; (Η απάντηση είναι όχι. 62,5% θα βγει ένα από τα φύλλα που δεν θέλετε.)

Ας πάμε όμως και στα δικά μας, τα λιγότερο… επικίνδυνα.

3. Ενα αυτοκίνητο έχει διανύσει 100.000 χιλιόμετρα έχοντας χρησιμοποιήσει και τα τέσσερα λάστιχά του και τη ρεζέρβα του σε ακριβώς ίδιο αριθμό χιλιομέτρων. Πόσα χιλιόμετρα έχει κάνει το κάθε λάστιχο;

4. Μας ζητούν να βρούμε έναν οκταψήφιο αριθμό που το πρώτο ψηφίο του να δείχνει τον αριθμό των μηδενικών που υπάρχουν σε αυτόν, το δεύτερο τον αριθμό των άσων, το τρίτο τον αριθμό των δυαριών και ούτω καθεξής έως το έβδομο ψηφίο. Το όγδοο ψηφίο θα πρέπει να δείχνει το πόσα διαφορετικά ψηφία υπάρχουν σε αυτόν τον αριθμό. (Επειδή είναι δύσκολο ίσως να φτιάξεις έτσι out of the blue έναν τέτοιον αριθμό έχει ενδιαφέρον η εξής υπόδειξη για όποιον θέλει: Διαλέγουμε οποιονδήποτε οκταψήφιο αριθμό και αρχίζουμε να μετράμε τα μηδενικά, τους άσους κ.λπ. και φτιάχνουμε έναν νέο αριθμό. Π.χ. από τον 13386067 θα προκύψει ο 11020026. Γι’ αυτόν επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Μετά από περίπου οκτώ φορές θα προκύψει πλέον ο αριθμός που ζητούμε και είναι πάντα ο ίδιος ανεξάρτητα από τον αρχικό αριθμό.)

5. Ενα αγόρι και ένα κορίτσι παίζουν το εξής παιχνίδι: Εχουν μοιράσει έξι νομίσματα, από τρία σε δύο στοίβες. Ο κάθε παίκτης επιτρέπεται να πάρει από μία μόνο στοίβα, όποια θέλει, όσα νομίσματα επιθυμεί. Νικητής είναι όποιος αποσύρει και το τελευταίο νόμισμα από τα έξι. Το αγόρι νομίζει ότι παίζοντας πρώτο θα κερδίσει σίγουρα αλλά το κορίτσι ξέρει ότι παίζοντας δεύτερο έχει σίγουρη τη νίκη. Γιατί;

6. Ενας κτηνοτρόφος έλεγε ότι μαζί με τον συνεταίρο του είχαν πρώτα αγελάδες αλλά αποφάσισαν να τις πουλήσουν. Η τιμή που πήραν ανά κεφάλι ήταν όσα και τα ζώα. Π.χ. αν ήταν 50, πουλήθηκαν προς 50 ευρώ το ένα. Με τα χρήματα που εισέπραξαν αγόρασαν όσο περισσότερα πρόβατα μπορούσαν στην τιμή των 10 ευρώ το καθένα. Επειδή τους περίσσεψε και κάτι το έδωσαν και αγόρασαν με αυτό και έναν σκύλο. Μετά από όλα αυτά αποφασίζουν να χωρίσουν τα ζώα τους. Και για να πάρουν από ίσο αριθμό ζώων έβαλαν και τον σκύλο στον λογαριασμό, τον έδωσε στον συνεταίρο του και πήραν ίδιο αριθμό ζώων ο καθένας. Ενας που άκουγε αμίλητος όλη αυτή την ώρα λέει στον κτηνοτρόφο: «Φαντάζομαι θα του έδωσες και 2 ευρώ για να είναι σωστή η μοιρασιά». Πώς έφθασε να πει κάτι τέτοιο;

7. Και κάτι για όποιον θέλει να βασανιστεί πιο πολύ: Στα κλάσματα 16/64 και 19/95 μπορούμε να «απλοποιήσουμε» ανορθόδοξα σβήνοντας τα εξάρια και τα εννιάρια αντίστοιχα. Υπάρχουν άλλα τέτοια κλάσματα; Αν ναι, πώς θα βρεθούν;

Καλές γιορτές με υγεία.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Διάλογος μεταξύ του Τ. και του Φ.: Τ.: Εχω δύο αριθμούς x και y, όπου x+y=z. Το άθροισμα των ψηφίων του x δίνει 43 και του y 68. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του z; Φ.: Οταν προσθέτεις τους x και y πόσες φορές εμφανίζεται κρατούμενο; Τ.: Πέντε φορές. Φ.: Τότε το άθροισμα των ψηφίων του z είναι 66. Πώς το βρήκε; Η σκέψη είναι η εξής: Αν δεν υπήρχαν τα κρατούμενα θα αρκούσε να προσθέσουμε το 43 και το 68. Διότι για παράδειγμα αν είχαμε να προσθέσουμε: 12+14=26 θα είχαμε (1+2=3) και (1+4=5), άρα 3+5=8 αλλά και 2+6=8.

Τώρα όμως σε κάθε πρόσθεση με κρατούμενο όσο προχωρούμε από δεξιά προς τα αριστερά πόσο αλλάζει; Εδώ είναι ένα λεπτό σημείο. Αν π.χ. είχαμε να προσθέσουμε στην πρώτη θέση δεξιά 9+5=14 θα γράφαμε το 4 και την υπόλοιπη δεκάδα θα τη μεταφέραμε στην επόμενη θέση προς τα αριστερά αλλά εκεί αντί για 10 θα προσθέσουμε 1 μονάδα, δηλαδή αντί για 10 μόνον 1, δηλαδή 10-1=9, άρα για κάθε κρατούμενο που παρουσιάζεται θα αφαιρούμε από το γενικό άθροισμα των ψηφίων 9.

Ετσι θα έχουμε 43+68-(5×9)=66. Για να γίνει ακόμη πιο κατανοητό ας πάρουμε την πρόσθεση: 999 + 444 = 1443 όπου παρουσιάστηκαν 3 κρατούμενα κατά την πρόσθεση. Από τον 999 έχουμε 9+9+9=27 και από τον 444 έχουμε 4+4+4=12. Σύμφωνα με την προηγούμενη μέθοδο επειδή παρουσιάστηκαν 3 κρατούμενα, ο τύπος υπολογισμού θα είναι: 27+12-(3×9)=12. Αλλά και ο 1443 δίνει άθροισμα ψηφίων 12.

2. Σε ένα Λύκειο κάνουν το εξής: Σε 6 φύλλα Α4 γράφουν 6 τυχαίες ημερομηνίες μέσα στον μήνα. Μόνο που για όποια πέφτει Κυριακή ο αριθμός είναι με κόκκινο μαρκαδόρο ενώ για τις άλλες ημέρες από Δευτέρα έως Σάββατο με μαύρο.

Γυρίζουν ανάποδα ένα από τα φύλλα και μπαίνει μέσα ο πρώτος μαθητής. Τον ρωτούν αν μπορεί κοιτάζοντας τα ανοιχτά φύλλα να μαντέψει το χρώμα του αριθμού στο γυρισμένο ανάποδα φύλλο. Γράφει ένα Ναι ή ένα Οχι στο πίσω μέρος του φύλλου μαζί με τον αριθμό προσέλευσης που εδώ είναι το «1». Το φύλλο μένει γυρισμένο και γυρίζουν ανάποδα ένα ακόμη. Μπαίνει ο δεύτερος, του λένε τα ίδια, όταν βγαίνει γυρίζουν άλλο ένα φύλλο ανάποδα κ.ο.κ. μέχρι τον πέμπτο. Και οι πέντε έχουν γράψει Οχι. Μπαίνει ο έκτος και βλέπει 6 χαρτιά γυρισμένα ανάποδα. Υπάρχει περίπτωση να μαντέψει το χρώμα στο έκτο; Και αν ναι, ποιο είναι αυτό;

Οι ημερομηνίες που επιλέγονται είναι εντελώς τυχαίες. Μπαίνοντας ο πρώτος μέσα και γράφοντας τελικά Οχι σημαίνει ότι στα 5 χαρτιά δεν υπήρχαν σημειωμένες πέντε Κυριακές που θα ήταν και με κόκκινο χρώμα (5 Κυριακές το πολύ μπορεί να έχει ένας μήνας). Οπότε το αναποδογυρισμένο χαρτί θα είχε ημέρα εκτός Κυριακής, άρα με μαύρο χρώμα.

Το ίδιο συμβαίνει και με τους επόμενους τέσσερις, γι’ αυτό γράφουν Οχι στο πίσω μέρος των χαρτιών. Ο έκτος όμως όταν μπει μέσα και ακολουθήσει τον παραπάνω συλλογισμό θα πρέπει να καταλάβει ότι οι 5 προηγούμενοι δεν είδαν ένα έστω κόκκινο χαρτί, άρα και το τελευταίο καλυμμένο θα έχει ημερομηνία για ημέρα από Δευτέρα έως Σάββατο, άρα με μαύρο μαρκαδόρο.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα