Στα υπόλοιπα προβλήματα του χριστουγεννιάτικου τραπεζιού μάς είχε μείνει και το εξής πρόβλημα: Ενας κτηνοτρόφος έλεγε ότι μαζί με τον συνεταίρο του είχαν πρώτα αγελάδες αλλά αποφάσισαν να τις πουλήσουν. Η τιμή που πήραν για το κάθε κεφάλι ήταν όσα και τα ζώα. Π.χ. αν ήταν 50 πουλήθηκαν προς 50 ευρώ το ένα. Με τα χρήματα που εισέπραξαν αγόρασαν όσο περισσότερα πρόβατα μπορούσαν στην τιμή των 10 ευρώ το καθένα. Κάτι τους περίσσεψε και με αυτό αγόρασαν και έναν σκύλο.

Όταν αποφάσισαν να χωρίσουν τα ζώα τους, για να πάρουν από ίσο αριθμό έβαλαν και τον σκύλο στον λογαριασμό. Τον έδωσε ο ένας στον πρώην πλέον συνεταίρο του για να έχουν πάρει ίδιο αριθμό ζώων ο καθένας. Ενας που άκουγε αμίλητος όλη αυτή την ώρα λέει στον κτηνοτρόφο: «Φαντάζομαι θα του έδωσες και 2 ευρώ για να είναι σωστή η μοιρασιά». Πώς έφθασε να πει κάτι τέτοιο;

Μια πρώτη σημαντική παρατήρηση: Τα χρήματα που πήραν συνολικά από την πώληση των ζώων είναι αριθμός τέλειο τετράγωνο, π.χ. 50×50=2500 (δηλαδή η τετραγωνική του ρίζα είναι θετικός ακέραιος). Ο αριθμός των προβάτων ήταν περιττός (=μονός) αφού χρειάστηκε να δοθεί και ο σκύλος για να είναι ίσος ο αριθμός των ζώων. Αφού όμως αγοράστηκε μονός αριθμός προβάτων προς 10 ευρώ, το προτελευταίο ψηφίο στο ποσό που εισέπραξαν από την πώληση των αγελάδων είναι περιττός αριθμός! Αν όμως έχουμε αριθμό που είναι τέλειο τετράγωνο με περιττό το προτελευταίο ψηφίο τότε το τελευταίο του ψηφίο πρέπει να είναι ίσο με 6.

Απόδειξη: Εκφράζουμε έναν θετικό ακέραιο με τη μορφή 10α + β, όπου 10α είναι όλος ο υπόλοιπος αριθμός και β το τελευταίο ψηφίο. Το τετράγωνό του θα είναι: 100α² +20αβ + β² . Οι δύο πρώτοι όροι αυτού του αθροίσματος έχουν αντίστοιχα δύο μηδενικά στις δύο τελευταίες θέσεις και ένα μηδενικό επί έναν άρτιο αριθμό. Αρα για να έχει το άθροισμα των τριών μαζί έναν περιττό στην προτελευταία θέση πρέπει ο β² να έχει ένα πρώτο ψηφίο που να είναι περιττός. Οι μόνες περιπτώσεις για να συμβαίνει αυτό είναι για το 4² = 16 και το 6²  = 36. Το 4 δεν μας κάνει ενώ το 6 δείχνει πως ο σκύλος κόστισε 6 ευρώ και όταν τον έδωσε στον άλλον έπρεπε να του δώσει και άλλα 2 ευρώ, για να μοιράσουν τη διαφορά (10-6=4) αφού ένα πρόβατο κόστιζε 10 ευρώ και ο σκύλος 6 ευρώ.

Πνευματική Γυμναστική

1. Εχουμε δύο ομόκεντρους κύκλους, που η διαφορά στις διαμέτρους τους είναι 10 εκατοστά. Ζητούμε τη διαφορά στο μήκος των δύο περιφερειών αλλά θέλουμε αυτό να προκύψει με μια λύση που δεν χρειάζεται να πιάσουμε μολύβι και χαρτί ή τη βοήθεια υπολογιστή. Ετσι μπαμ, όπως βλέπουμε το σχήμα να πούμε πως είναι τόσο!

2. Επάνω σε μια ευθεία βρίσκονται πέντε σημεία. Μας δίδονται 10 αποστάσεις αυτών των σημείων μεταξύ τους ανά δύο και μάλιστα με σειρά μεγέθους: 2, 4, 5, 8, k, 13, 15, 17, 19. Πόσο είναι το k;

Οι λύσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Σε έναν πλειστηριασμό αυτοκινήτων συμμετείχαν 30 πλειοδότες. Οι 10 από αυτούς αγόρασαν λιγότερα από 6 αυτοκίνητα ο καθένας. Οι 8 αγόρασαν περισσότερα από 7 αυτοκίνητα ο καθένας, οι 5 περισσότερα από 8 αυτοκίνητα ο καθένας, οι 5 περισσότερα από 8 ο καθένας και ένας μόνον αγόρασε περισσότερα από 9. Από τους 30 πόσοι αγόρασαν 6, 7, 8 ή 9 αυτοκίνητα; Από όλο αυτό το «σύννεφο» αγορών αρκεί να ξεχωρίσουμε τους δέκα που αγόρασαν λιγότερα από έξι αυτοκίνητα και τον έναν που αγόρασε περισσότερα από εννέα, δηλαδή 10+1=11. Επομένως οι άλλοι που ζητούμε τον αριθμό τους είναι: 30-11=19 (εδώ έχουμε ένα είδος προβλημάτων όπου ζητούμε από τους μικρούς μαθητές να ξεχωρίσουν το ουσιαστικό από το σκόπιμα παραπλανητικό).

2. Τέσσερις μαθηματικοί συναντιούνται τις ημέρες των διακοπών και επειδή τα τυχερά παιχνίδια δεν είναι του γούστου τους διασκεδάζουν κάπως αλλιώς. Ο ένας γράφει σε τρεις μικρές κάρτες από έναν θετικό ακέραιο αριθμό και περνάει με ένα νήμα από μία στον λαιμό ενός εκάστου, από τους άλλους τρεις. Και έτσι ώστε να μην μπορεί ο συγκεκριμένος να δει τον δικό του αριθμό, αλλά φυσικά να τον βλέπουν οι άλλοι δύο. Γνωρίζουν από την αρχή πως πρόκειται για θετικούς ακεραίους και ότι ο ένας από αυτούς είναι το άθροισμα των άλλων δύο. Ξεκινούν να μαντεύουν ο καθένας με τη σειρά του, ο Α, ο Β, ο Γ, αλλά ο πρώτος γύρος κλείνει χωρίς αποτέλεσμα. Στο ξεκίνημα του δευτέρου γύρου ο Α φωνάζει: «Εχω το 50». Πώς το βρήκε και ποιοι ήταν οι άλλοι δύο αριθμοί;

Μια πρώτη και πολύ χρήσιμη παρατήρηση είναι πως οι τρεις αριθμοί πρέπει να είναι διαφορετικοί. Διότι αν δεν ήταν αυτός που θα έβλεπε δύο ίδιους αριθμούς θα καταλάβαινε πως ο δικός του είναι το άθροισμα των δύο και θα είχε φωνάξει αμέσως. Ας ξεκινήσουμε από την υπόθεση ότι ο Α βλέπει οι άλλοι δύο να έχουν τους αριθμούς 2 και 3. Τότε βγάζει το συμπέρασμα ότι εκείνος έχει είτε το 1 (αφού τότε το 1 το δικό του μαζί με το 2 του άλλου θα έδιναν ως άθροισμα το 3 του τρίτου) ή αυτός θα είχε το 5 (2+3=5). Στον πρώτο αυτόν γύρο ο Α δεν μπορεί να βγάλει άλλο συμπέρασμα. Παρακολουθεί την αντίδραση του Β.

Αν υποθέσουμε ότι ο Α είχε το 1 και ο Γ το 3, τότε ο Β θα μπορούσε να υποθέσει είτε ότι εκείνος είχε το 2 (1+2=3, δηλαδή τον αριθμό του Γ) είτε ότι είχε το 4 (1+3=4). Επομένως δεν μίλησε ο Β γιατί δεν είχε κάτι σίγουρο. Ο Γ με τη σειρά του αν έβλεπε στους άλλους δύο τους αριθμούς 1 και 2 θα καταλάβαινε αμέσως ότι είχε το 3 διότι δεν μπορούσε και αυτός να έχει το 1 (που θα το είχε και ο Α) με βάση τον περιορισμό που αναφέραμε στην αρχή. Αφού όμως δεν μίλησε και αυτός, ο Α κατάλαβε ότι κάτι άλλο συμβαίνει. Η υπόθεσή του ότι οι Α, Β, Γ είχαν τους αριθμούς 1, 2, 3 ήταν λάθος. Αρα τι έμενε; Να έχει ο Α το 5 και οι άλλοι το 2 και το 3. Αν τώρα όλα αυτά πολλαπλασιαστούν επί 10 (50, 20, 30) βγαίνει το 50 που φώναξε τελικά.

3. Ο διαχειριστής του τζόγου μας λέει να διαλέξουμε τρία φύλλα από μία από τις σειρές στην τράπουλα (δηλαδή από όλα τα 13 μπαστούνια, ή από όλες τις 13 κούπες κ.λπ.) και χωρίς να τα δείξουμε να σημειώσουμε ποια είναι αυτά. Αν μαντέψει έστω και ένα από αυτά χάνουμε. Υποθέτουμε μάλιστα πως αυτό θα επαναληφθεί υποχρεωτικά μερικές φορές ακόμη. Μας συμφέρει;

Σίγουρα όχι. Και θα αποδειχθεί αυτό αν σκεφθούμε, όπως συχνά συμβαίνει, το αντίθετο. Δηλαδή την πιθανότητα να μην πετύχουμε στην πρώτη προσπάθεια να βρούμε ένα από τα 3 χαρτιά στα 13. Η πιθανότητα είναι (10/13). Στην επόμενη προσπάθεια μένουν 9 χαρτιά άρα η πιθανότητα γίνεται (9/12) και στην τρίτη προσπάθεια (8/11). Αρα συνολικά η πιθανότητα να αποτύχει κάποιος να βρει ένα από τα τρία επιλεγμένα χαρτιά είναι αριθμητικά ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων: (10/13)x(9/12)x(8/11)=(720/1716)=0,4195. Αρα η πιθανότητα, αντίθετα, να μαντέψει ο διαχειριστής του τζόγου ένα από τα τρία φύλλα μας είναι 1-0,4195=0,5804 ή αλλιώς 58,04%, άρα αρκετά πιο επάνω από το 50%.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα