Ο Εμάνουελ Καντ στην «Κριτική του καθαρού λόγου»(18ος αιώνας) αναφέρει, μεταξύ άλλων, ότι «ενώ τα αντικείμενα της Γεωμετρίας μπορούν να παρουσιάζονται με παραστατικό τρόπο (δηλαδή εποπτικά άμεσα), οι άγνωστες ποσότητες, οι μεταβλητές και οι υπόλοιπες αλγεβρικές οντότητες μπορούν να αναπαρίστανται μόνο έμμεσα, με κατασκευές που απαιτούν τη χρήση σημαινόντων». Αυτό που – χωρίς να το σκεφθούμε και πολύ – καταλαβαίνουμε στις ημέρες μας ως την ανάμειξη γραμμάτων με αριθμούς για να λύνουμε διάφορα προβλήματα.

Ο,τι ανέφερε ο Καντ ήταν βέβαια μια καίρια διαπίστωση αλλά όχι βέβαια η λύση στο πρόβλημα του πώς οι αλγεβρικές οντότητες γίνονται κτήμα ενός μικρού μαθητή (εκεί γύρω στη Στ’ Δημοτικού και το πολύ πριν από τη Γ’ τάξη του Γυμνασίου), όταν πρέπει να περάσει από τη χρήση μόνο αριθμών στη χρήση και συμβόλων.

Εχει αποδειχθεί, με βάση διάφορες εργασίες στο παρελθόν, πως τη λύση εξισώσεων τη γνώριζαν και οι Ελληνες από αρκετά παλιά, όπως π.χ. ο Θέων ο Αλεξανδρεύς (335-405), ο πατέρας της Υπατίας, και άλλοι λαοί (Βαβυλώνιοι, Ιάπωνες) όχι με τον κάπως μηχανιστικό τρόπο που το κάνουμε εμείς σήμερα. Εναν τρόπο αρκετά αποτελεσματικό όταν γνωρίζουμε τι ακριβώς κάνουμε.

Στη συνέχεια εννοείται πως μπορούμε να μοιραζόμαστε την κοινή αυτή γνώση έχοντάς την και εντελώς πρόχειρα (και με τις δύο έννοιες) στο μυαλό μας, εμείς όπως και οι άλλοι, που σε αυτούς απευθυνόμαστε. Το πρόβλημα όμως είναι το πώς κάνεις τους αμύητους πρώτα κοινωνούς της κατανόησης και μετά των αυτοματισμών και σε ποια ηλικία. Ποιο είναι το πρόβλημα; Αυτό της ικανότητας της αφαίρεσης. Το βήμα από το συγκεκριμένο στο γενικό που διανύει τρία στάδια: χειρισμός – έκφραση – αφαίρεση.

Χειροπιαστή μύηση

Αξίζει λοιπόν να παρακολουθήσουμε το πώς αναλύει ένα τέτοιο πρόβλημα ο Λουίς Ράντφορντ, διάσημος ερευνητής στο πεδίο Επιστήμη της Εκπαίδευσης: Θεωρεί το πρόβλημα της έκφρασης ενός γενικού τύπου για μια ακολουθία αριθμών, σχημάτων ή και αντικειμένων. Πρώτα λοιπόν διακρίνει το υπόδειγμα ή πρόπλασμα (pattern).

Ας πούμε πως ξεκινάμε τοποθετώντας 3 σπιρτόξυλα σε σχήμα ισοπλεύρου τριγώνου και συνεχίζουμε να του προσθέτουμε από 2 ακόμη σπιρτόξυλα κάθε φορά, δημιουργώντας νέα ισόπλευρα τρίγωνα «κολλητά» το ένα (δίπλα) στο άλλο. Εως εδώ έχουμε το πρόπλασμα. Το μοτίφ, όπως το αποκαλεί ο Ράντφορντ, είναι εδώ το τρίγωνο μαζί με τον κανόνα που το αναπαράγει-πολλαπλασιάζει (=η προσθήκη 2 ακόμη κάθε φορά).

Ο δάσκαλος στην τάξη θα ζητήσει να κατασκευάσουν με τα χέρια τους αυτή τη διάταξη των τριγώνων τα παιδιά και να ψάξουν το πώς αυξάνονται τα πρώτα τρία με πέντε περίπου τρίγωνα με την προσθήκη πόσων σπίρτων κάθε φορά.

Προχωρώντας πέρα από αυτόν τον μικρό αριθμό, βλέπουν τα παιδιά πως ο απαιτούμενος αριθμός για 100 τρίγωνα αυξάνεται τόσο που πλέον δεν είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί με αντικείμενα (εδώ με έναν τεράστιο αριθμό σπίρτων) ενώ η κατασκευή… χάνεται στο βάθος του τραπεζιού. Ερχεται η ώρα της αφαίρεσης. Δηλαδή είμαστε αναγκασμένοι να βρούμε μια έκφραση που πλέον θα είναι ένας γενικός τύπος και θα δίνει πόσα σπίρτα χρειαζόμαστε για 100 ή 1.000 τρίγωνα. Εδώ για παράδειγμα, για τα ν τρίγωνα είναι ο τύπος: νx2 + 1 σπίρτα.

Ετσι ο μαθητής προσεγγίζει κατά έναν τρόπο χειροπιαστό (κυριολεκτικά) την έννοια της ακολουθίας και του γενικού τύπου.

Γνωρίζετε ότι…

Ο Λούις Ράντφορντ είναι καθηγητής στην Παιδαγωγική Σχολή στο Σάντμπαρι του Οντάριο. Από τον Καναδά η φήμη του έχει απλωθεί μέχρι την Ευρώπη και ιδιαίτερα στη Γαλλία όπου τα τελευταία χρόνια υπάρχει μεγάλο ενδιαφέρον για το πώς μπορεί να βελτιωθεί η εκπαίδευση σε σχέση με τα Μαθηματικά. Είναι χαρακτηριστικό ότι κατά παραγγελία του γαλλικού κράτους, εκπονήθηκε μια μεγάλη μελέτη από τον διάσημο και ιδιόρρυθμο καθηγητή Σεντρίκ Βιλανί και τον γενικό επιθεωρητή εκπαίδευσης Σαρλ Τοροσιάν που κατέληξε σε «21 προτάσεις για τη βελτίωση της εκπαίδευσης στα Μαθηματικά» από το νηπιαγωγείο έως το πανεπιστήμιο. Παραδόθηκε τον Φεβρουάριο του 2018 και εφαρμόζεται ήδη σε όλη τη Γαλλία.

Ο Ράντφορντ έχει βραβευτεί για τις εργασίες του σχετικά με τη διδασκαλία των Μαθηματικών και είναι εκδότης της επιθεώρησης «For the Learning of Mathematics». Αυτό που τον ενδιαφέρει, όπως γράφει, είναι η σκέψη του μαθητή να μην περιορίζεται μόνο στο τι θα μάθει στο σχολείο αλλά στο τι θα γίνει από αυτό. Οι ιδέες του σε σχέση με την αντιμετώπιση των μικρών παιδιών στις ηλικίες 8-11 ετών βασίζονται πολύ στις θεωρίες του λευκορώσου ψυχολόγου Λεβ Σεμιάνοβιτς Βιγκότσκι (1896-1934), με καριέρα και επιρροή αντίστοιχη με αυτήν του Πιαζέ.

Πνευματική γυμναστική

1. Μία ομάδα παιδιών βρίσκεται έξω από τη σχολική αίθουσα τελετών. Το καθένα έχει στο κεφάλι του δεμένο ένα μαντίλι κόκκινο ή μπλε, χωρίς να γνωρίζει το χρώμα του. Μπορεί όμως φυσικά να βλέπει τα μαντίλια των άλλων. Λένε στα παιδιά να προσπαθήσουν μπαίνοντας ένα-ένα στην αίθουσα να σταθούν επάνω σε μια ευθεία το ένα δίπλα στο άλλο χωρισμένα από τη μια όσα έχουν μπλε και από την άλλη όσα έχουν κόκκινο μαντίλι στο κεφάλι. Με ποια αρχική οδηγία θα μπορέσουν να το καταφέρουν αυτό, χωρίς να μιλήσουν μεταξύ τους;

2. Εχουμε την εξής ακολουθία: 17,8,1,Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η,Θ,Ι,
Κ,Λ,7,9,16. Σε αυτή βρίσκονται όλοι οι ακέραιοι θετικοί από το 1 έως το 17 (προφανώς ο καθένας από μία φορά). Το χαρακτηριστικό της ακολουθίας αυτής είναι πως το άθροισμα δύο διαδοχικών όρων είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. 17+8=25=52 , 8+1=9=32. Να βρεθεί πόσο είναι ο Ζ, που βρίσκεται στο μέσον ακριβώς.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Ενα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα κανονικό εξάγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με 2 μονάδες επιφανείας, πόσο είναι το εμβαδόν του εξαγώνου; Αν α είναι η πλευρά του εξαγώνου και β η πλευρά του τριγώνου, θα ισχύει ότι 6α=3β, άρα η πλευρά του εξαγώνου είναι ίση με το μισό της πλευράς του τριγώνου. Αν στο ισόπλευρο τρίγωνο φέρουμε από τα μέσα των πλευρών του παράλληλες προς την αντίστοιχη πλευρά σχηματίζονται 4 ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές ίσες με το μισό της πλευράς του τριγώνου, άρα ίσες με α. Το κανονικό εξάγωνο αναλύεται επίσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρά α. Αρα ο λόγος των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι 4/6 ή 2/3. Αρα το εμβαδόν του εξαγώνου είναι ίσο με 3 μονάδες επιφανείας.

2. Για να περάσει η ώρα, ρίχνει κάποιος έναν αριθμό ζαριών και προς έκπληξή του παρατηρεί ότι το αποτέλεσμα των ενδείξεων από όλα μαζί είναι ίσο με το γινόμενο των ενδείξεων. Με ένα από αυτά τα ζάρια έφερε 2, με άλλο ένα 3 και με ένα ακόμη 5. Με τα υπόλοιπα έφερε άσους. Πόσα ζάρια έριξε. Αν ν είναι ο αριθμός των ζαριών που έφεραν 1, τότε ισχύει για το γινόμενο ότι 1ν x 2 x 3 x 5 = 30. Αφού το γινόμενο είναι ίσο με το άθροισμα, ισχύει και ότι: 1xν +2 + 3 + 5 = 30. Αρα ν = 30 – 10 ή ν = 20. Εριξε επομένως 20 + 3 = 23 ζάρια ταυτόχρονα.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα