Εκεί που εμείς οι παλαιότεροι είχαμε αρκετές δυσκολίες όταν η ύλη, όντας καθαρά «πρακτικής αριθμητικής» μας καλούσε να κατανοήσουμε τα προβλήματα μείξης και κραμάτων, τόκου και επιτοκίου, να διαγωνιζόμαστε σε πολύ σοβαρές για το μέλλον μας εξετάσεις σε προβλήματα «εσωτερικής υφαίρεσης», όπως ήταν τότε ο τίτλος του κεφαλαίου, τώρα τα πράγματα έχουν αλλάξει.

Εχουν φύγει όλα αυτά και υπάρχει νωρίς μέσα στη σχολική χρονιά η υποχρέωση να διδαχθούν οι μαθητές της ΣΤ’ του Δημοτικού Σχολείου εξισώσεις. Υλη που «κατέβηκε» από το Γυμνάσιο στο Δημοτικό. Δεν θα προσεγγίσω σήμερα το θέμα για το τι ήταν καλύτερο, η ύλη τότε ή τώρα. Ενδιαφέρον παρουσιάζει αυτή τη στιγμή, λίγο μετά το μέσο του σχολικού έτους, το πώς έχει συμπεριφερθεί ο δάσκαλος ώστε οι μαθητές του να καταλάβουν αυτή τη διδακτέα ύλη. Που αυτό, όπως θα φανεί, έχει σχέση και με το τι έχει προηγηθεί στις προηγούμενες τάξεις (μέχρι τον παιδικό σταθμό θα έλεγα πως πάει πίσω το πρόβλημα, χωρίς υπερβολή).

Αχ αυτές οι μεταβλητές!

Οι μικροί μαθητές ήδη στο ξεκίνημα έρχονται αντιμέτωποι στο κεφάλαιο των εξισώσεων με μια λέξη που σίγουρα μπορεί να προβληματίσει και έναν ενήλικο αν δεν έχει εντρυφήσει στο θέμα αυτό. Είναι η λέξη «μεταβλητή». Λέξη ερμητικά περιχαρακωμένη στον εαυτό της, δηλαδή που δεν σε βοηθάει με τίποτα να φτιάξεις μια σωστή εικόνα από μόνος σου.

Ανέτρεξα στο βιβλίο του δασκάλου. Εκεί αναφέρεται μόνο το εξής: «Οπως χρησιμοποιούμε τους αριθμούς, κατά τον ίδιο τρόπο χρησιμοποιούμε και τις μεταβλητές (δηλαδή τα γράμματα) για να εκφράσουμε συμβολικά διάφορες προτάσεις της καθομιλούμενης γλώσσας». Θα επανέλθω σε αυτόν τον ορισμό, αλλά πρώτα θέλω να δανειστώ κάποια στοιχεία από το βιβλίο του Τζ. Αρνέλ Γουίλιαμς «Algebra the Beautiful», ενός αφροαμερικανού καθηγητή Μαθηματικών σε κολέγιο της Πολιτείας Νιου Μέξικο. Εκεί είναι τόσο προσεκτικός ώστε για τη γνωστή ιδιότητα: 5+1=1+5 ξεκινάει με το σχήμα: (Πρώτος αριθμός)+(Δεύτερος αριθμός)=(Δεύτερος αριθμός)+(Πρώτος αριθμός). Αναφέρει ότι τα «Πρώτος αριθμός» και «Δεύτερος αριθμός» είναι διαθέσιμοι χώροι (slots) και απλοποιεί τη σχέση διαδοχικά ως εξής: ΠΑ +ΔΑ=ΔΑ+ΠΑ και Π+Α=Α+Π και από εκεί στο x+y=y+x, θυμίζοντας ότι η χρήση των x, y, z κ.λπ. ήταν ιδέα του Καρτέσιου που έμεινε.

Οπως θα πρέπει να μείνει και ότι τα x, y, z κ.λπ. εδώ είναι «διαθέσιμοι χώροι» που τους ονομάζουμε και «μεταβλητές». Θα συνεχίσουμε όμως…

Γνωρίζετε ότι…

Στο βιβλίο του ο Γουίλιαμς μας λέει να κάνουμε τα εξής: Διαλέγουμε τον αριθμό των ημερών μέσα στην εβδομάδα που λέμε να μη μαγειρεύουμε παίρνοντας κάτι απ’ έξω. Η επιλογή επομένως γίνεται μεταξύ των 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ο επιλεγόμενος αριθμός πολλαπλασιάζεται στη συνέχεια επί 4. Στο αποτέλεσμα προστίθεται το 17 και το προκύπτον άθροισμα πολλαπλασιάζεται με το 25. Ανάλογα τώρα με το έτος που βρισκόμαστε, θα προσθέσουμε τα χρόνια που έχουν περάσει από το 2013 (π.χ. για εφέτος ο αριθμός αυτός θα ήταν ίσος με 10). Αν τη στιγμή του υπολογισμού έχουν ήδη περάσει τα γενέθλια του αναγνώστη μέσα στη χρονιά, προσθέτει στον προηγούμενο αριθμό τον 1588, ενώ αν δεν έχουν περάσει, προσθέτει τον 1587. Από τον αριθμό που έχει προκύψει αφαιρούμε το έτος γέννησης. Αν όλα έγιναν καλά (και εμείς δεν έχουμε υπερβεί το 100ό έτος της ηλικίας μας), θα πρέπει να έχει προκύψει ένας τριψήφιος αριθμός (χρήσιμος για στατιστικούς λόγους) όπου θα υπάρχει ως πρώτο ψηφίο από αριστερά ο αριθμός των ημερών που θέλουμε να τρώμε έξω και τα δυο άλλα ψηφία θα δίνουν την ηλικία μας. Ο συγγραφέας προκαλεί τον αναγνώστη (το ίδιο και εμείς από εδώ) να εξηγήσει το πώς προκύπτει αυτό. Σχετικό προφανώς και με τα όσα αναφέρονται στις διπλανές στήλες.

Πνευματική γυμναστική

1.  Σε έναν ακέραιο αριθμό το ψηφίο μεγαλύτερης αξίας (=αυτό που είναι πιο αριστερά από όλα τα άλλα) είναι το 3. Αν αυτό το ψηφίο αποκοπεί, ο αριθμός που προκύπτει είναι ίσος με το ένα πέμπτο του προηγούμενου. Ζητείται το γινόμενο των διάφορων από το μηδέν ψηφίων του αρχικού αριθμού (π.χ. αν είναι ο 3750001 η απάντηση θα είναι: 3x7x5x1=105).

2. Το τρίο Αλις, Μπομπ και Κάρολ κάπως ήρθαν στο κέφι και αποφάσισαν να διασκεδάσουν πυροβολώντας ο ένας τον άλλον! Η Αλις όταν πυροβολεί πετυχαίνει στο 1/3 των περιπτώσεων τον ή την αντίπαλό της. Ο Μπομπ στα 2/3 και η Κάρολ βρίσκει πάντα τον στόχο της. Συμφωνούν να ρίχνουν από μία βολή κάθε φορά ο καθένας με την εξής σειρά: Αλις, Μπομπ, Κάρολ και να επαναλαμβάνεται ο κύκλος μέχρι να μείνει μόνο ένας ή μια. Τι τη συμφέρει να κάνει η Αλις που πυροβολεί πρώτη;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Μια ομάδα παιδιών βρίσκεται έξω από τη σχολική αίθουσα τελετών. Το καθένα έχει στο κεφάλι του δεμένο ένα μαντίλι κόκκινο ή μπλε, χωρίς να γνωρίζει το χρώμα του. Μπορεί όμως φυσικά να βλέπει τα μαντίλια των άλλων. Λένε στα παιδιά να προσπαθήσουν μπαίνοντας ένα-ένα στην αίθουσα να σταθούν επάνω σε μια ευθεία το ένα δίπλα στο άλλο χωρισμένα από τη μια όσα έχουν μπλε και από την άλλη όσα έχουν κόκκινο μαντίλι στο κεφάλι. Με ποια αρχική οδηγία θα μπορέσουν να το καταφέρουν αυτό, χωρίς να μιλήσουν μεταξύ τους; Η οδηγία είναι η εξής: Μπαίνουν τα δυο πρώτα παιδιά και στέκονται στο κέντρο το ένα δίπλα στο άλλο. Το τρίτο παιδί που μπαίνει αν δει ότι τα δυο πρώτα έχουν το ίδιο χρώμα πηγαίνει και στέκεται δίπλα τους ενώ αν έχουν διαφορετικό θα μπει ανάμεσά τους. Το τέταρτο παιδί και τα επόμενα θα πηγαίνουν και θα μπαίνουν εκεί όπου τελειώνει το ένα χρώμα και αρχίζει το άλλο.

2. Εχουμε την εξής ακολουθία: 17, 8, 1, Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, 7, 9, 16. Σε αυτή βρίσκονται όλοι οι ακέραιοι θετικοί από το 1 έως το 17 (προφανώς ο καθένας από μια φορά). Το χαρακτηριστικό της ακολουθίας αυτής είναι πως το άθροισμα δυο διαδοχικών όρων είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. 17+8=25=52, 8+1=9=32. Να βρεθεί πόσο είναι ο Ζ, που βρίσκεται στο μέσο ακριβώς. Ξεκινάμε από την παρατήρηση ότι Λ+7=x2 άρα Λ= x2 -7. Οι πιθανές τιμές είναι (x=3, Λ=2) ή (x=4, Λ=9) ενώ για x=5 το τετράγωνό του δίνει 25 και η αφαίρεση 25-7= 18 δίνει αριθμό > 17, άρα αδύνατον. Επειδή όμως το 9 υπάρχει ήδη, θα πρέπει Λ=2. Συνεχίζουμε: Κ+Λ= x2 . Αρα Κ= x2 -Λ ή Κ=x2-2. Με x=4 έχουμε Κ=14. Είναι η μόνη επιλογή διότι π.χ. για x=2 θα προέκυπτε Κ=2 και για x=3 το 7, που ήδη υπάρχουν. Ούτε x=1 διότι τότε θα προέκυπτε αρνητική τιμή για το Κ. Προχωρούμε προς τα πίσω κάνοντας τον ίδιο συλλογισμό μέχρι το Ζ. Π.χ. Ι= x2 -14. Οι πιθανές τιμές του x μπορεί να είναι 4 και 5 που δίνουν για το Ι τις τιμές 2 και 11 αντίστοιχα. Η 2 υπάρχει ήδη άρα Ι=11. Για να καταλήξουμε ότι (με Θ=14, Η=4) προκύπτει Ζ=12 (ουφ!).

Έντυπη έκδοση Το Βήμα