Ήταν πολύ ευχάριστο που σε πολλά σημεία του Διαδικτύου εμφανίστηκαν αρκετά μακροσκελείς παρουσιάσεις του επιτεύγματος τριών μαθηματικών. Να βρουν δηλαδή ένα μόνο σχήμα και αυτό να μπορεί επαναλαμβανόμενο να καλύπτει μια απείρων διαστάσεων επιφάνεια. Και αυτό χωρίς ποτέ να δημιουργείται το παραμικρό κενό αλλά και να μην προκύπτει περιοδικότητα στο «μωσαϊκό». Δηλαδή να διακρίνεις (=να ξεχωρίσεις) ένα κομμάτι που να μπορείς να το βρεις και λίγο ή πολύ πιο πέρα ακριβώς ίδιο.

Ηταν ένα σχήμα που θυμίζει από μακριά καπέλο και μάλιστα αυτό που εμείς στα ελληνικά ονομάζουμε ρεπούμπλικα, και αυτό έδωσε τη λύση σε ένα μακροχρόνια άλυτο πρόβλημα. Η επίστρωση ενός επιπέδου απείρων διαστάσεων με την επανάληψη ενός τέτοιου σχήματος, αναμενόμενα, ονομάζεται απεριοδική. Στην απεριοδική επίστρωση το μεγάλο επίτευγμα εθεωρείτο η εύρεση ενός μόνο πλακιδίου (από τα γερμανικά ein Stein, μία πέτρα, εξ ου και το παρεξηγήσιμο «Αϊνσταϊνπρόμπλεμ») που να κάνει τη δουλειά.

Και το μόνο που δεν πρέπει να πει ή έστω να σκεφθεί κάποιος είναι το «κοίτα με τι ασχολούνται οι μαθηματικοί». Μαθηματικοί όπως ο Πένροουζ για παράδειγμα, με ένα Νομπέλ Φυσικής στο σπίτι του και χρόνια στην αναζήτηση του δυσεύρετου όπως αποδείχθηκε πλακιδίου (εκείνος είχε φθάσει να βρει δύο μαζί απαραίτητα για την επικάλυψη). Το 1961 η μαθηματική κοινότητα είχε πεισθεί ότι δεν υπήρχαν τέτοια πλακίδια. Μετά από λίγο αποδείχθηκε πως αν συνδυάζονταν 20.426 διαφορετικά σχήματα θα γινόταν η «δουλειά». Στη συνέχεια βρέθηκε πως αρκούσαν 104 και ο Πένροουζ όπως και άλλοι μαθηματικοί βρήκαν ζευγάρια ικανά γι’ αυτό. Από τότε έμενε το ερώτημα αν θα κατέβαινε στο σχεδόν απίστευτο ένα μόνο. Ισως και να έγινε, γιατί ακόμη η απόδειξη εξετάζεται.

Εφαρμογές και στη διδασκαλία

Πέρα από τις πάντα απροσδιόριστες αρχικά εφαρμογές που κάθε φρεσκοαποκτημένη γνώση θα προσφέρει στην ανθρωπότητα μελλοντικά, γνωρίζουμε ήδη πως από τον προηγούμενο προβληματισμό πέρα από τις καλλιτεχνικές, ταπητουργικές και αρχιτεκτονικές εφαρμογές έχουν προκύψει και παιδαγωγικές. Στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Από το νηπιαγωγείο μέχρι το γυμνάσιο.

Αναγνώριση γεωμετρικών σχημάτων μέσα από φωτογραφίες ή εκτυπώσεις κλασικών σχημάτων σε τοίχους, χαλιά, πίνακες ζωγραφικής, μέτρημα κάποιων άλλων μέσα στο όλο σύνολο, δημιουργία συνόλων, σύνθεση άλλων γεωμετρικών σχημάτων μέσα στο μοτίβο που παρουσιάζεται, υπολογισμός αποστάσεων και διαδρομών (διαφορές από την ευθεία και την τεθλασμένη γραμμή). Επίσης η κάλυψη επιφανειών με άλλες μικρότερες μπορεί να οδηγήσει σε μια καλύτερη και πιο απτή κατανόηση του ότι το εμβαδόν σχετίζεται με την επικάλυψη επιφανειών. Σχετικό με αυτά είναι και το θέμα της περιμέτρου και το πώς συνδέονται εμβαδόν και περίμετρος. Ακόμη και με πολύ λίγα σχήματα, που το παιδί μπορεί να παίρνει το περίγραμμά τους σε χαρτί με το μολύβι του μπορεί να γίνει μια διδασκαλία povera στα όριά της, δηλαδή μια πάμφτωχη σε μέσα καθοδήγησης σε πολύ ενδιαφέροντα σχήματα. Αυτά πριν μπούμε και στο μεγάλο κεφάλαιο των συμμετριών, που μας ανοίγουν τα μάτια και μπορούν να μας οδηγούν από τη ζωγραφική έως την κρυσταλλογραφία.

Γνωρίζετε ότι…

Ο όρος «πλακοστρώσεις», που χρησιμοποιείται στα ελληνικά από τους μαθηματικούς μας, στα αγγλικά είναι η λέξη tessellations που και αυτή έχει ρίζα ελληνική! Από ένα γαλλικό λεξικό βρήκαμε ότι υπάρχει και στα γαλλικά η ίδια σχεδόν λέξη, teselle και εκεί αναφέρεται ότι προέρχεται από το λατινικό tesella που θεωρείται ως υποκοριστικό της ελληνικής λέξης «τέσσερα». Τώρα το γιατί μπαίνει εδώ ο αριθμός τέσσερα έχει να κάνει με την εποχή που ο όρος μάλλον δεν είχε εισχωρήσει ακόμη στα Μαθηματικά και έμενε σε επίπεδο… δαπέδου. Οπου οι αξιοθαύμαστοι (κατά προσωπική άποψη) τεχνίτες ήξεραν πως με ορθογώνια μπορούσαν να καλύψουν πλήρως μια επιφάνεια, χωρίς δηλαδή το παραμικρό κενό, ενώ μια παράλληλη μετακίνηση μιας ομάδας πλακιδίων, όλων μαζί, δεν δημιουργεί καμία εμφανή διαφορά στο σχέδιο που παρουσιάζουν όλα μαζί τα πλακίδια.
Στα Μαθηματικά, όταν πέρασε η ορολογία και η εν γένει σύλληψη της κάλυψης μιας επιφάνειας, ισχύουν οι εξής βασικοί κανόνες: 1. Η επίστρωση με οποιοδήποτε γεωμετρικό σχήμα δεν αφήνει κενό ούτε υπάρχει επικάλυψη. 2. Τα πλακίδια είναι κανονικά πολύγωνα. 3. Σε κάθε σημείο συνάντησης των γειτονικών κορυφών το «περιβάλλον» είναι ακριβώς το ίδιο.

Πνευματική Γυμναστική

1. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός log10 5 (δηλαδή ο δεκαδικός λογάριθμος του 5) δεν μπορεί να είναι ρητός αριθμός;

2. Ενας ωρολογοποιός κάποια στιγμή που ο ωροδείκτης με τον λεπτοδείκτη ενός (όχι ψηφιακού, εννοείται) ρολογιού σχημάτιζαν μια γωνία Α μεταξύ τους σημάδεψε τη γωνία αυτήν. Μετά παρατήρησε πως ήλθε στιγμή που οι δύο δείκτες τριχοτομούσαν την Α που είχε σημαδέψει επάνω στην πλάκα. Πόσος (ελάχιστος) χρόνος πέρασε από τότε που έβαλε τα σημάδια; Επειδή η διατύπωση του προβλήματος αφήνει σκοτεινά κάποια σημεία που παίδεψαν και εμάς διευκρινίζουμε ότι: Ξεκινούμε από μια θέση όπου ο λεπτοδείκτης είναι πιο μπροστά από τον ωροδείκτη. Οπως δηλαδή κοιτάζουμε την πλάκα είναι αριστερά από τον ωροδείκτη. Επίσης για τη θέση των δεικτών ως προς την τριχοτόμηση της γωνίας εννοεί ότι από τα τρία τρίτα της Α οι δείκτες έχουν πλέον βρεθεί στο μεσαίο ένα τρίτο (έξτρα βοήθεια – για όποιον τη θέλει – είναι ότι ο ωροδείκτης τότε θα είναι πιο μπροστά από τον λεπτοδείκτη).

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Βγαίνοντας από το σπίτι για τρέξιμο τρέχω σε οριζόντιο έδαφος κάποια απόσταση με ταχύτητα 8 χιλιομέτρων την ώρα, συνεχίζω σε ανήφορο μέχρι την κορυφή ενός λόφου, επιστρέφω. Στον ανήφορο έχω ταχύτητα 6 χιλιόμετρα την ώρα και στον κατήφορο 12 χιλιόμετρα την ώρα. Ολο αυτό διήρκεσε 2 ώρες. Πόση απόσταση έτρεξα; Η μέση ταχύτητα δεν είναι (6 + 12) / 2 = 9 χιλιόμετρα την ώρα διότι δεν τρέχω το ίδιο χρονικό διάστημα σε ανήφορο και κατήφορο. Αναλυτικά: Αν t1, t2 είναι οι χρόνοι για την άνοδο και την κάθοδο (χωρίς επιτάχυνση-επιβράδυνση βέβαια), για το μήκος της πλαγιάς s με ταχύτητες αντίστοιχα v1, v2 έχουμε t1 = (s/v1), t2=(s/v2). Ο συνολικός χρόνος θα είναι (t1+t2)=[s(v1+v2)/v1v2]. Η (ρεαλιστική) μέση ταχύτητα θα είναι: Vμ = 2s/(t1+t2). Αντικαθιστώντας τις τιμές προκύπτει ότι είναι 8 χιλιόμετρα την ώρα. Αρα αφού η μέση ταχύτητα στο ανεβοκατέβασμα του λόφου ήταν 8 χλμ./ώρα (όση και στο ίσωμα), στις δύο ώρες διήνυσε 16 χιλιόμετρα. Επομένως αφού η μέση ταχύτητα στο ανεβοκατέβασμα του λόφου ήταν 8 χλμ./ώρα (όση και στο ίσωμα), στις δύο ώρες διήνυσε 16 χιλιόμετρα.

2. Τρεις παίκτες θα μοιραστούν σε ένα παιχνίδι τρεις χιλιάδες ευρώ αν κερδίσουν. Στο κεφάλι τους έχουν μια καρτέλα με χρώμα ουρανί ή μαύρο χωρίς να γνωρίζουν οι ίδιοι το χρώμα της. Οταν αρχίσει το παιχνίδι καθένας βλέπει τις καρτέλες των άλλων. Τους επιτρέπεται να μαντέψουν, μιλώντας με τη σειρά, το χρώμα της καρτέλας τους ή να πουν «πάσο», οπότε συνεχίζει ο επόμενος. Αν κάποιος μαντέψει λάθος το χρώμα του χάνουν όλοι μαζί. Τι συνεννόηση μπορούν να κάνουν από πριν ώστε να μην «καούν» και να ανεβάσουν σε περισσότερο από 50% τις πιθανότητές τους κάποιος να βρει το σωστό χρώμα του; Οι συνδυασμοί που μπορούν να εμφανιστούν στις τρεις καρτέλες είναι 8, οι εξής: ΟΟΟ, ΟΟΜ, ΟΜΜ, ΜΟΟ, ΜΜΟ, ΜΜΜ, ΜΟΜ, ΟΜΟ. Στους 6 από αυτούς δεν έχουν όλες το ίδιο χρώμα. Συμφωνούν λοιπόν όποιοι δύο από τους τρεις βλέπουν δύο διαφορετικά χρώματα να πουν «πάσο». Αυτός που βλέπει δύο καρτέλες με ίδιο χρώμα αντίθετα θα δηλώσει ότι έχει το αντίθετο από αυτά. Ετσι ελπίζουν να πέσουν στο σύνολο των 6 από τις 8 περιπτώσεις, οπότε η πιθανότητά τους φθάνει στα 6/8 ή 3/4, άρα 75%.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα