Το 1960 ο Εσερ (1890-1978) έγραφε: «Αν και είμαι εντελώς αθώος σε ό,τι αφορά τις θετικές επιστήμες (τις αποκαλούσε exact sciences), συχνά μου φαίνεται ότι έχω περισσότερα κοινά με τους μαθηματικούς παρά με τους ομοτέχνους μου». Η αλήθεια είναι πως ο Ολλανδός έκανε πολλές προσπάθειες για να καταλάβει τα θέματα της συμμετρίας.

Τον Οκτώβριο του 1937 ο Εσερ έδειχνε στον ετεροθαλή αδελφό του, καθηγητή Γεωλογίας, τα όσα είχε σχεδιάσει σε ένα λεύκωμα, μετά από άλλη μια επίσκεψή  του για να θαυμάσει τα πλακάκια στην ισπανική Αλάμπρα. Εκείνος είδε επί τόπου ότι αυτές οι συμμετρίες που είχε καταγράψει ο αδελφός του θα είχαν μεγάλο ενδιαφέρον για όσους ασχολούνταν με την κρυσταλλογραφία, τη δομή δηλαδή των θεμελιωδών μονάδων που η επανάληψή τους συγκροτεί δομικά, πετρώματα, μέταλλα και άλλα στερεά σώματα.

Στη συνέχεια οι γνωριμίες του με μαθηματικούς-διασημότητες αυξήθηκαν. Ο πιο γνωστός είναι ο Ρότζερ Πένροουζ που βρέθηκε κάποια στιγμή δευτεροετής φοιτητής σε συνέδριο μαθηματικών στο Αμστερνταμ και είδε ξαφνικά μπροστά του το εξώφυλλο για μια έκθεση του Εσερ και του έκανε τρομερή εντύπωση. Πήγε, είδε και αργότερα επεδίωξε μια συνάντηση με τον καλλιτέχνη. Οπου αποδείχθηκε πως ο ένας θα επηρέαζε τον άλλον για πολύ καιρό και πολύ γόνιμα. Διότι π.χ. το λεγόμενο «αδύνατο τρίγωνο» που υπάρχει σε έργα του Εσερ ήταν μια επινόηση του Πένροουζ και του πατέρα του.

Επίσης ένας άλλος διάσημος γεωμέτρης, ο Χάρολντ Κόξετερ, στο θεωρούμενο ως κλασικό πλέον βιβλίο του «Εισαγωγή στη Γεωμετρία» με την πρωτοτυπία να ασχολείται εκεί και με τις ομάδες συμμετρίας κάνει σαφή αναφορά (κεφάλαιο 4) στο έργο του Εσερ. Ενώ μια άλλη καθηγήτρια Μαθηματικών, η Αμερικανίδα Μάρτζορι Σένετσαλ, σε μια εργασία της με τίτλο «Ο αλγεβρικός Εσερ» έχει την υπομονή να απαριθμήσει τους τομείς των Μαθηματικών όπου οι πίνακες του ολλανδού καλλιτέχνη μπορούν όπως γράφει «όχι απλά να εικονογραφήσουν τις σελίδες μαθηματικών βιβλίων αλλά να διδάξουν». Και αναφέρει τομείς όπως η γεωμετρία και η γραμμική άλγεβρα αλλά περισσότερο αφηρημένους τομείς όπως η θεωρία των ομάδων!

Γνωρίζετε ότι…

Την 1η Ιανουαρίου του 1969 ο «αρχηγός» των Ρόλινγκ Στόουνς Μικ Τζάγκερ απηύθυνε μια επιστολή στον Μάουριτς Κορνέλις Εσερ. Τι του έλεγε; Οντας θαυμαστής της ζωγραφικής του διάσημου πλέον τότε Ολλανδού ξεκινούσε την επιστολή ως εξής: «Αγαπητέ Μάουριτς. Εδώ και κάποιο καιρό έχω στην κατοχή μου το βιβλίο σου (“Graphic Works of…”) και δεν παύει να με εντυπωσιάζει κάθε φορά που το διαβάζω… (και λίγο πιο πέρα έρχεται η πρόταση)… Τον Μάρτιο ή Απρίλιο αυτού του χρόνου σχεδιάζουμε την κυκλοφορία του επόμενου LP-δίσκου μας (ήταν το Through the Past Darkly) και θα ήθελα πάρα πολύ να είχαμε ένα από τα έργα σου στο εξώφυλλο ή αν θα είχες την ευχαρίστηση για κάποιο νέο έργο σου ή ένα από τα ανέκδοτα».

Δεν παραλείπει να του πει σε ποιον μάνατζερ να απευθύνει την απάντησή του και αναφέρει πως «θα μπορούσαμε να έλθουμε σε συμφωνία για αμοιβή από τη στιγμή που θα έχεις δεχθεί». Η απάντηση του Εσερ απευθυνόταν στον μάνατζερ του Τζάγκερ, ήταν αρνητική και την άρνησή του τη δικαιολογούσε με τον φόρτο εργασίας που είχε (πόσο χρόνο θα του έπαιρνε άραγε να δώσει ένα ήδη υπάρχον έργο;) και κατέληγε εξής: «Dir Sir… ειρήσθω εν παρόδω, παρακαλώ πείτε στον κύριο Τζάγκερ ότι δεν είμαι ο “Μάουριτς” για εκείνον, αλλά ο ειλικρινώς ημέτερος Μ. Κ. Εσερ». Θάβοντας μέσα σε χοντρό ελβετικό πάγο την οικειότητα που πήρε το θάρρος να δημιουργήσει ο Μικ. Τον Νοέμβριο του ίδιου χρόνου ένα LP των Mott the Hoople εμφανίστηκε με εξώφυλλο του Εσερ!

Πνευματική Γυμναστική

1Αυτές τις ημέρες όσοι δεν διαθέτουν δικό τους αεροπλάνο αναγκάζονται να συνωστίζονται σε υπερπλήρεις πτήσεις. Σε μια από αυτές 100 άτομα είχαν εισιτήρια για 100 αριθμημένες αντίστοιχα θέσεις σε μια πτήση. Ομως ο πρώτος που θα έμπαινε στο αεροπλάνο δεν έβρισκε το εισιτήριό του και με τα πολλά, λόγω Πάσχα, του επέτρεψαν να καθίσει όπου ήθελε. Οι άλλοι μπαίνοντας είτε έβρισκαν τη δική τους θέση είτε κάθονταν σε άλλη αν η δική τους ήταν κατειλημμένη από κάποιον συνεπιβάτη. Ο τελευταίος που μπαίνει τι πιθανότητα έχει να καθίσει στη θέση που γράφει το εισιτήριό του; (Δεν απαιτούνται ιδιαίτερες γνώσεις από τη θεωρία των πιθανοτήτων.)

2Δύο μικρά σκάφη εκτελώντας δρομολόγια μεταφοράς επιβατών και εμπορευμάτων διασχίζουν κάθετα ένα ποτάμι με σταθερές αλλά διαφορετικές ταχύτητες. Ξεκινώντας από διαφορετική όχθη το καθένα στην αρχή της ημέρας συναντώνται σε μια απόσταση 720 μέτρων από τη μια όχθη. Φθάνοντας το καθένα στην άλλη όχθη ξεφορτώνει και μετά από 10 λεπτά ξεκινά για απέναντι. Τώρα συναντώνται σε μια απόσταση 400 μέτρων μετρώντας από την άλλη όχθη, όχι αυτήν που μετρήσαμε πριν την απόσταση. Ποιο είναι το πλάτος του ποταμού;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Εδώ έχουμε μια ωραία παραλλαγή των προβλημάτων με καπέλα και στρατηγικές. 100 άτομα βρίσκονται το καθένα σε μια μεγάλη μαρμάρινη σκάλα, ο καθένας σε ένα σκαλοπάτι. Τους έχουν φορέσει ένα καπέλο λευκό ή μαύρο χωρίς να έχουν δει εκείνοι το χρώμα του και χωρίς να ξέρουν πόσα μαύρα και πόσα λευκά έχουν διατεθεί (δεν είναι απαραίτητο να είναι 50 και 50). Ο καθένας από το σκαλοπάτι του μπορεί να βλέπει και να μετράει τα καπέλα μόνον όσων βρίσκονται στα πιο κάτω σκαλοπάτια. Δίδεται η εντολή να φωνάξουν με τη σειρά αρχίζοντας από τον πιο πάνω το χρώμα του καπέλου που μαντεύουν ότι φορούν. Με ποια συνεννόηση από πριν μπορούν να επιτύχουν το μέγιστο των επιτυχιών; (πάνω από το εύκολο 50%). Η συνεννόηση που πρέπει να γίνει είναι εκείνος που βρίσκεται στο πιο ψηλό σκαλοπάτι και βλέπει τα υπόλοιπα 99 καπέλα να μετρήσει τα μαύρα (ή τα λευκά, ανάλογα με τη συμφωνία) και να πει «μονά» ή «ζυγά» (και μηδέν να είναι ας πούμε από κάποιο χρώμα πάλι ζυγά θα πει). Τότε ο αμέσως πιο κάτω θα μετρήσει αυτά που συμφώνησαν και θα καταλάβει αν φοράει λευκό ή μαύρο καπέλο και θα το πει. Ετσι θα συνεχίσουν, οπότε σίγουρα οι 99 θα βρουν το σωστό και μόνον ένας δεν θα γνωρίζει στα σίγουρα τι καπέλο φοράει (ποιος;).

2. Το Πάσχα κάποιοι άνθρωποι δεν τρώνε κρέας. Πώς μπορεί να γίνει Ν άτομα να μοιράσουν όσο γίνεται πιο δίκαια μια πίτσα μεταξύ τους; Για τρία άτομα, ο πρώτος κόβει ένα μόνο κομμάτι, που κατά την εκτίμησή του να αντιστοιχεί στο (1/3) του όλου, περίπου. Ο δεύτερος αν πιστεύει πως αυτό είναι κάτι παραπάνω από το (1/3), τότε αφαιρεί όσο νομίζει. Το μαχαίρι πηγαίνει στον τρίτο που θα αποφασίσει αν πρέπει να κάνει και εκείνος παρέμβαση για το κομμάτι ή όχι. Κανόνας: Το κομμάτι καταχωρείται στον τελευταίο που έκανε παρέμβαση και έκοψε κάτι με το μαχαίρι. Το παίρνει και φεύγει. Ετσι κανείς δεν κόβει ένα πολύ μικρό κομμάτι γιατί υπάρχει ο φόβος ότι δεν θα υπάρξει άλλος που να το θέλει και θα το μείνει σε εκείνον. Συνεχίζουν επομένως οι δύο με τα υπόλοιπα (2/3). Ο ένας κόβει σε ό,τι νομίζει πως είναι δίκαια κομμένο στη μέση και ο άλλος διαλέγει όποιο από τα δύο. Η ίδια διαδικασία ακολουθείται και για Ν άτομα. Ο πρώτος κόβει ένα κομμάτι (1/Ν), οι άλλοι διορθώνουν και ο τελευταίος που θα έχει κόψει κάτι παίρνει το κομμάτι και φεύγει. Μένουν (Ν-1) και συνεχίζουν.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα