Ο Καρτέσιος (1595-1650), ένας άνθρωπος που προσπαθούσε να πατάει όσο γίνεται πιο στέρεα στη γη και υποστήριξε ότι ο άνθρωπος όφειλε, για να βρει την αλήθεια, να βασιστεί αποκλειστικά στις δυνάμεις του νου, θεωρούσε τους μιγαδικούς αριθμούς κάτι άχρηστο για τη μαθηματική επιστήμη της εποχής του. Γι’ αυτό κάπως βιαστικά τους αποκάλεσε υποτιμητικά και «φανταστικούς» αριθμούς με την έννοια ότι δεν μπορούν να χρησιμεύσουν σε κάτι στον πραγματικό κόσμο. Αυτό τους στοίχειωσε, παρ’ όλο που αποδείχθηκε ότι ήταν ακριβώς το αντίθετο.

Ποιος όμως, αν δεν ακολουθήσει θετικές επιστήμες στο πανεπιστήμιο, φεύγοντας ακόμη και από το Λύκειο είναι σε θέση να πει δυο λόγια για τη χρησιμότητα των φανταστικών και των μιγαδικών αριθμών; Και γενικότερα, τι παίρνουν οι μαθητές μας στις αποσκευές τους τελειώνοντας με ένα μάθημα;

Ας ξεκινήσουμε όμως από κάτι που φαίνεται μακρινό σε σχέση με το κράτος των φανταστικών και των μιγαδικών αριθμών. Στους πραγματικούς αριθμούς κάποιος επινόησε το εξής απροσδόκητο για να κάνει τα παιδιά να θυμούνται τι πρόσημο έχουμε όταν πολλαπλασιάζουμε θετικούς με αρνητικούς, αρνητικούς με αρνητικούς, θετικούς με θετικούς. Λέει: Οι θετικοί ανήκουν στους φίλους μας, οι αρνητικοί στους εχθρούς μας. Θετικός x αρνητικό σημαίνει ο εχθρός του φίλου μας, άρα και δικός μας εχθρός, άρα αρνητικό πρόσημο. Αρνητικός x αρνητικό σημαίνει εχθρός του εχθρού μας, άρα φίλος, θετικό πρόσημο, και Θετικός x θετικό, φίλος του φίλου μας, άρα φίλος, θετικό πρόσημο. Σε μια γωνία του μυαλού μας το αφήνουμε αυτό για λίγο. Ορισμός: «Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού x είναι ένας αριθμός που όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του μας δίνει πίσω τον x». Εχουν οριστεί όμως έτσι τα πράγματα (ναι, κάποιοι «παλαιότεροι» από εμάς αυτή την «κατασκευή» πρότειναν, θα μπορούσαν να είχαν ορίσει και αλλιώς τα των αριθμών) ώστε για παράδειγμα τετραγωνική ρίζα του 4 είναι και το +2 και το -2, διότι (-2)x(-2) = +4 (ο εχθρός του εχθρού που λέγαμε). Oταν όμως έχουμε την εξίσωση x² + 1= 0 τότε x²= -1 θα λέγαμε ότι έχει ως ρίζες τα x=(+√-1) και x=-(√-1), αν δεν σκοντάφταμε στο ότι με την εξίσωση αυτή ψάχνουμε έναν αριθμό x που το τετράγωνό του είναι ο αρνητικός αριθμός -1. Κάτι ασυμβίβαστο με τα προηγούμενα για την ύψωση στο τετράγωνο.

Αυτό έκανε τους μαθηματικούς επί αιώνες να πετούν στα σκουπίδια ως απαράδεκτες τέτοιες λύσεις. Το πρόβλημα συμπυκνωνόταν ουσιαστικά στο ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του -1 και η απάντηση δεν μπορεί να είναι ούτε (-1) αφού το γινόμενο (-1)x(-1) = +1, ούτε +1 αφού (+1)x(+1)= +1 επίσης.

Ξέρουμε πλέον ότι ο Οϊλερ (1707-1783) έκρυψε την «αντιαισθητική», για την εποχή του, τετραγωνική ρίζα του (-1) συμβολίζοντάς τη με το i (οπότε προκύπτει και ότι i² = -1). Χωρίς όμως να γλιτώσει η τότε ανθρωπότητα από τα παράδοξα. Αφού για παράδειγμα το (4i)² θα έδινε 4x4xixi=16x(-1)=-16. Δηλαδή ο φίλος του φίλου θα βγει τώρα εχθρός μας (=αρνητικός); Εδώ φαίνεται να αντιστρέφεται ο κόσμος όλος σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν πριν από λίγο! Oμως όχι, τα πράγματα μπήκαν στη θέση τους κάποια στιγμή, όπως θα δούμε.

Γνωρίζετε ότι…

Υπάρχει κάτι που ονομάζεται «Θεμελιώδες Θεώρημα της Aλγεβρας»; Ο τίτλος του τρομάζει και είναι κάπως ερμητικός. Δηλαδή, παρ’ όλο το μήκος του, δεν σου δίνει να καταλάβεις περί τίνος πρόκειται. Ακόμη χειρότερα, αν σου πουν ξερά ότι λέει πως «το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι κλειστό», αυτό τι σημαίνει;
Σημαίνει πως στις διάφορες εξισώσεις, πρώτου, δευτέρου, ν βαθμού, όπου ως συντελεστές των αγνώστων είναι πραγματικοί αριθμοί, οι λύσεις δεν είναι πάντα πραγματικοί αριθμοί. Αυτό στη μαθηματική γλώσσα εκφράζεται με το ότι «το σώμα των πραγματικών αριθμών δεν είναι κλειστό». Αντίθετα, επειδή πάντα υπάρχουν λύσεις από το σώμα των μιγαδικών, αυτό θεωρείται «κλειστό». Πολύ πιο απλά: με τους μιγαδικούς δεν κολλάμε, πάντα βρίσκουμε λύσεις για τις εξισώσεις. Μια πολύ ισχυρή συστατική επιστολή επομένως για τους μιγαδικούς που αγκαλιάστηκαν τελικά, ιδιαίτερα από πολλές εφαρμοσμένες επιστήμες (θεωρία κυκλωμάτων, απεικονίσεις κ.λπ.) αλλά και από την κβαντομηχανική.
Τα αποπαίδια έγιναν τελικά χρησιμότατοι, περιζήτητοι πρωταγωνιστές…

Πνευματική Γυμναστική

1. Μια μικρή βάρκα σε μια μεγάλη πισίνα είναι φορτωμένη με ένα μεγάλο κομμάτι πάγο. Ρίχνουμε τον πάγο στο νερό. Θα ανέβει, θα κατέβει ή θα μείνει αμετάβλητη η στάθμη του νερού; Οταν λιώσει ο πάγος, τι θα συμβεί;

2. Να δειχθεί ότι οι ακέραιοι θετικοί αριθμοί από το 1 έως το 15 δεν μπορούν να χωριστούν σε δυο ομάδες Α και Β ως εξής: Η Α να περιέχει 13 αριθμούς και η Β να περιέχει 2 αριθμούς, μοιρασμένους έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών της ομάδας Α να είναι ίσο με το γινόμενο των αριθμών της ομάδας Β (μην πάει ο νους σε θεωρία ομάδων και τα παρόμοια).

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Στο γραφείο μόλις εγκατέστησαν καινούργιο κλιματιστικό μηχάνημα, το άφησαν σε λειτουργία και έφυγαν. Κόβεται το ρεύμα και ο τελευταίος υπάλληλος, καθώς είναι αργά το απόγευμα, θέλει να φύγει. Του έχουν πει στα βιαστικά πως το τηλεχειριστήριο (μπαταρίας) εκτός από το άνοιγμα/κλείσιμο δίνει δυνατότητα πρόσβασης πατώντας διαδοχικά το ίδιο πλήκτρο και σε άλλες δυο ή τρεις το πολύ καταστάσεις λειτουργίας. Με τη διακοπή του ρεύματος δεν γνωρίζει σε ποια από όλες τις καταστάσεις βρισκόταν το μηχάνημα. Θέλει όμως να μη μείνει σε λειτουργία όταν επιστρέψει το ρεύμα. Πώς θα το επιτύχει αυτό; Αφού οι λειτουργίες μαζί με την ON/OFF είναι συν 2 ακόμη ή συν 3 ή συν 4 το πολύ, αρκεί να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2, 3, 4 και 5 που είναι βέβαια το 60. Αν λοιπόν πατήσει το πλήκτρο 60+1 φορές, διότι ήταν σε λειτουργία όταν σταμάτησε, θα επιτύχει να θέσει το μηχάνημα στη θέση OFF.

2. Θεωρούμε όλους τους ακέραιους θετικούς αριθμούς από τον 1 έως τον 123.456. Τους κατατάσσουμε σε δυο ομάδες. Στη μια μπαίνουν όσοι το άθροισμα των ψηφίων τους δίνει άρτιο αριθμό. Στην άλλη όσων δίνει περιττό αριθμό. Ποιο σύνολο στο τέλος θα έχει περισσότερα μέλη; Από το 1 μέχρι το 123.455 το σύνολο με τους περιττούς θα υπερτερεί κατά ένα σε αριθμό μελών και ο 123.456, που έχουν τα ψηφία του άθροισμα 21, το σύνολο με αθροίσματα περιττούς αριθμούς θα έχει δύο περισσότερα μέλη από το άλλο σύνολο.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα