Ξύλο ανάμεσα σε πέτρες

Στη συνέχεια όμως παρουσιάζοντας έναν μικρό ξύλινο κύβο που θα είχε επάνω του το σύμβολο «√-1» θα ρωτούσα την τάξη αν μπορώ να τον τοποθετήσω και αυτόν μαζί με τα προηγούμενα στο περιεχόμενο του δοχείου. Θα έπρεπε αυτό να προκαλέσει κάποιον προβληματισμό. Είναι η τετραγωνική ρίζα του -1 πραγματικός; Αν ήταν θα έπρεπε να είναι θετικός, αρνητικός ή μηδέν. Αν όμως υψωθεί στο τετράγωνο, είτε θετικός ήταν είτε αρνητικός θα έπρεπε να προκύψει θετικός, όμως εδώ προκύπτει το τετράγωνό του ίσο με (-1). Αν ήταν μηδέν θα έπρεπε όταν υψωθεί στο τετράγωνο να δώσει πάλι μηδέν. Αρα δεν είναι πραγματικός και δεν μπορεί να τοποθετηθεί μαζί με τους άλλους στο δοχείο. Διότι δεν μπορεί να συγκριθεί καν με αυτούς. Εδώ είναι η στιγμή που θα εμφανιστεί η ευθεία των πραγματικών αριθμών γιατί από αυτήν θα αντλήσουμε την έμπνευση για το πού θα τοποθετηθεί αυτό το «αταίριαστο» που μας προέκυψε ξαφνικά. Πώς; Υπομονή μέχρι την επόμενη φορά.

Γνωρίζετε ότι…

Ο Λέοναρντ Οϊλερ (1707-1783) ήταν ο άνθρωπος που έδωσε στην τετραγωνική ρίζα του -1 το σύμβολο «i» αλλά έγραψε και ότι οι αριθμοί της μορφής 5i «είναι αδύνατοι αριθμοί που υπάρχουν μόνον στη φαντασία». Στον ίδιο αυτόν μαθηματικό οφείλουμε την καθιέρωση του «π» ως συμβόλου για τον αριθμό (3.141…) που συμπληρώνει τον τύπο για την εύρεση του μήκους της περιφέρειας κύκλου από την ακτίνα (2 π R) και το σύμβολο f(x) για τις συναρτήσεις. Αυτά βέβαια είναι ήσσονος σημασίας προσφορές στην ανθρωπότητα αν συγκριθούν με αυτά που έχει δημοσιοποιήσει σε γνωστικούς τομείς όπως Φυσική, Γεωγραφία, Λογική, Θεωρία Γράφων, Τοπολογία, Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, Μιγαδικές Συναρτήσεις, Απειροστικός Λογισμός. Και θα μνημονεύεται εκτός των άλλων και για τον περίφημο μαθηματικό τύπο « ei π = -1» που θεωρείται ένα «επίτευγμα» της ανθρώπινης σκέψης αλλά για κάποιους είναι και αισθητικά απολαυστικό. Και όπως λέγεται στη μορφή ei π + 1 = 0 συμπυκνώνονται σε αυτήν τρεις πολύ σημαντικές πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, ύψωση σε δύναμη) και τέσσερις κλάδοι των μαθηματικών: Aριθμητική (0,1), Αλγεβρα (i), Γεωμετρία (π), Ανάλυση (e).

Πνευματική Γυμναστική

1. Σε μια δεξαμενή νερού προσαρμόζονται δύο σωλήνες Α και Β. Ο Α μπορεί να γεμίσει τη δεξαμενή σε 1,5 ώρα και ο Β να την αδειάσει στον μισό χρόνο από ό,τι ο Α. Το στόμιο όμως του Β αυτή τη φορά προσαρμόστηκε σε ένα σημείο που απέχει από τον πυθμένα στο 1/3 του ύψους της δεξαμενής. Ανοίγουμε ταυτόχρονα τις δύο αντλίες. Σε πόση ώρα θα γεμίσει η δεξαμενή;

2. Εχουμε στη διάθεσή μας ν ίδιους κύβους και προσπαθούμε να φτιάξουμε με αυτούς έναν όσο γίνεται πιο μεγάλο κύβο (χωρίς όμως εσωτερικά κενά). Τελικά διαπιστώνουμε πως μας λείπουν τόσοι όσοι χρειάζονται για μια σειρά ακόμη σε μια από τις πλευρές. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός ν διαιρείται ακριβώς από το 6.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Μια μικρή βάρκα σε μια μεγάλη πισίνα είναι φορτωμένη με ένα μεγάλο κομμάτι πάγο. Ρίχνουμε τον πάγο στο νερό. Θα ανέβει, θα κατέβει ή θα μείνει αμετάβλητη η στάθμη του νερού; Οταν λιώσει ο πάγος τι θα συμβεί; Ας ξεκινήσουμε θεωρώντας τη γενική περίπτωση όπου είχαμε στη βάρκα μάζας Μ ένα αντικείμενο με μάζα m. Ο όγκος του τμήματος που είναι βυθισμένο σε νερό πυκνότητας ρ θα είναι V1= (M+m)/ρ. Αν ρίξουμε το αντικείμενο στο νερό τότε για το άθροισμα των δύο προηγούμενων όγκων θα έχουμε ότι V2 = [(Μ/ρ) + (m/d)], όπου d η πυκνότητα του σώματος. Αφαιρώντας τους δύο όγκους (V1 – V2) παίρνουμε τελικά ότι: (V1 – V2)= m[(1/ρ) – (1/d)]. Ο πάγος έχει κατά 10% μικρότερη πυκνότητα από το νερό. Αρα V1 – V2 < 0, οπότε θα ανέβει η στάθμη κατά πολύ λίγο διότι (ανάλογα βέβαια και με τη θερμοκρασία του νερού) ο πάγος βυθίζεται κατά τα 9/10 του όγκου του όταν βρεθεί στο νερό. Και όταν ακόμη έχει λιώσει εντελώς ο πάγος η στάθμη του νερού δεν θα αλλάξει. Οταν είναι σε ισορροπία όπου ο πάγος επιπλέει στο νερό, η άνωση που υφίσταται είναι ίση με το βάρος του. Αρα θα ισχύει η γνωστή σχέση: Mg=dl g V, όπου dl η πυκνότητα του νερού σε αυτή την περίπτωση, Μ η μάζα του πάγου και V ο βυθισμένος στο νερό όγκος του πάγου άρα και ο όγκος του νερού που έχει εκτοπιστεί από τον πάγο. Αρα V=(M/dl). Οταν ο πάγος λιώσει το Μ θα είναι το ίδιο και θα ισχύει πως ο όγκος του νερού που έγινε πάγος είναι V1=(M/dl). Οπότε παρατηρούμε πως οι δύο όγκοι είναι ίδιοι, άρα δεν θα αλλάξει η στάθμη.

2. Να δειχθεί ότι οι ακέραιοι θετικοί αριθμοί από το 1 έως το 15 δεν μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες Α και Β ως εξής: Η Α να περιέχει 13 αριθμούς και η Β να περιέχει 2 αριθμούς, μοιρασμένους έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών της ομάδας Α να είναι ίσο με το γινόμενο των αριθμών της ομάδας Β (μην πάει ο νους σε θεωρία ομάδων και τα παρόμοια). Υποθέτουμε πως μπορούν να χωριστούν και ας είναι x,y οι αριθμοί στην ομάδα Β. Τότε θα ισχύει: (1+2+ … +15) – x + y = xy, οπότε 120 = xy + x + y ή 121 = (x + 1)(y + 1). Ομως τα x,y είναι κάποιοι μεταξύ 1 και 15, άρα θα πρέπει να είναι ίσα με 10 ώστε το γινόμενο να γίνεται 11 επί 11 = 121. Ατοπο διότι οι x,y πρέπει να είναι διαφορετικοί.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα