Υπάρχουν λόγοι, σίγουρα. Ο πρώτος έχει να κάνει με το ότι οι πράξεις μεταξύ των πραγματικών, όπως ορίστηκαν, δίνουν αποτελέσματα πάλι μέσα από το σώμα αυτών των αριθμών.

Άρα δεν υπάρχει ο κίνδυνος κάνοντας πράξεις να παίρνουμε και αποτελέσματα που να παραπέμπουν σε απροσδιόριστες οντότητες (πρόκειται για την κλειστότητα, όπως αποκαλείται). Επίσης υπακούουν (πάντα) στους νόμους της αριθμητικής (που εμείς τους καθορίσαμε).

Διαθέτουν όμως και ένα τρίτο χάρισμα και αυτό δεν τονίστηκε όσο έπρεπε από τους δασκάλους, που τουλάχιστον εγώ είχα, για να καταλάβω την τεράστια σημασία του: Το ότι μπορούν να είναι (γραμμικά) διατεταγμένοι. Με άλλα λόγια μπορούμε, όπως λέμε, να τους βάλουμε σε μια σειρά (ώστε να εμφανίζονται με αυστηρά συγκεκριμένες θέσεις και τις ίδιες πάντα επάνω σε μία ευθεία). Δεξιά οι θετικοί, στη μέση το μηδέν, αριστερά οι αρνητικοί, ακριβώς συμμετρικά (είναι σημαντικό αυτό) με τους αντίστοιχους θετικούς. Ομως οι αριθμοί του τύπου αi είναι αδύνατον να διαταχθούν στην ίδια ευθεία με τους πραγματικούς. Για παράδειγμα, ποια θέση θα έπρεπε εκεί να καταλάβει ο 5i;

Να δούμε όμως πώς αυτό βοηθάει να βρούμε την άκρη και για τους «φανταστικούς». Διότι οι θετικοί φαίνεται να «απεικονίζονται=μεταφέρονται» στους αρνητικούς με δύο τρόπους: 1. Με πολλαπλασιασμό επί (-1) ή 2. Με στροφή 180 μοιρών του άξονα των θετικών ώστε να πέφτει ακριβώς στον άξονα των αρνητικών. Αυτό μπορούμε να το συγχωνεύσουμε ως [Περιστροφή 180 μοιρών-Πολλαπλασιασμός επί -1]. Τότε όμως για στροφή μόνον κατά 90 μοίρες τι θα έχουμε; Η τολμηρή κίνηση είναι να υποθέσουμε πως και εδώ υπάρχει ένας αριθμός  n (όπως ήταν ο -1) που ο πολλαπλασιασμός με αυτόν βοηθάει να γίνει τώρα στροφή των 90 μοιρών. Και ας επαναλάβουμε την ίδια κίνηση. Τότε θα έχουμε άλλον έναν πολλαπλασιασμό επί n, άρα προκύπτει nxn=n².

Πού καταλήγουμε; Στο τμήμα της ευθείας με τους αρνητικούς αριθμούς. Αρα με τι ισοδυναμεί ο μετασχηματισμός n²; Με πολλαπλασιασμό με το -1, δηλαδή n² = -1. Και να πόσο φυσιολογικά εμφανίζεται στην (νοητή) οθόνη μας ότι για την εμφάνιση του άξονα του κάθετου στην ευθεία των 90 μοιρών ο κινητήριος μοχλός είναι ο n = √-1, δηλαδή ο i. Από τους δυο άξονες (x,y) λοιπόν του καρτεσιανού επιπέδου φαίνεται τώρα το πώς φθάνουμε συλλογιστικά αναπόφευκτα στο λεγόμενο μιγαδικό επίπεδο.

Με δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες. Αυτόν των πραγματικών αριθμών και αυτόν των φανταστικών. Η καινούργια (πιο μεγάλη και περιεκτική) οικογένεια θα είναι οι λεγόμενοι μιγαδικοί αριθμοί. Που φυσιολογικά  θα έχουν τη μορφή a+bi, οπότε για b=0 έχουμε τους πραγματικούς, για a=0 τους φανταστικούς.

Γνωρίζετε ότι…

Η κατανόηση και ο άνετος χειρισμός των μιγαδικών αριθμών είναι απαραίτητος εξοπλισμός για πολλές επιστήμες. Και τις πλέον απροσδόκητες. Οπως είναι η Πληροφορική και η Στατιστική. Και εκεί που δεν μπορείς να τους αποφύγεις είναι η Φυσική και η Ηλεκτροτεχνία. Στην Κβαντομηχανική όπως αναφέρθηκε εμφανίζονται σύμφυτοι με την κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη συμπεριφορά των σωματιδίων αλλά και στην ηλεκτροτεχνία οι ηλεκτρολόγοι μηχανολόγοι τους χρησιμοποιούν στα κυκλώματα με εναλλασσόμενο ρεύμα ενώ βολεύει εξαιρετικά καλά το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού να αντιστοιχεί στην ωμική αντίσταση και το φανταστικό στη συμπεριφορά των πηνίων και των πυκνωτών.
Κάποιος έγραψε ότι σε ένα ηλεκτρικό πιάνο το να μπορείς να υψώσεις ίδια την ένταση στον ήχο κάθε πλήκτρου είναι το αντίστοιχο με το να χρησιμοποιήσεις έναν πραγματικό αριθμό. Το να αλλάζεις όμως τον ήχο διαφορετικά και επιλεκτικά σε κάθε πλήκτρο ανάλογα με τη συχνότητα είναι αντίστοιχο με τη βοήθεια που δίνουν οι φανταστικοί αριθμοί.

Πνευματική Γυμναστική

1. Επειδή αναφερθήκαμε σε προηγούμενη συνέχεια στον Ταρτάλια, που έπαιξε ρόλο στην εισαγωγή των μιγαδικών, ας δώσουμε και ένα από τα αγαπημένα του προβλήματα: Αν το μισό του 5 ήταν 3, τότε πόσο θα ήταν το ένα τρίτο του 10;

2. Γράφουμε έναν πενταψήφιο θετικό ακέραιο με την ιδιότητα το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων ψηφίων αρχίζοντας από δεξιά να είναι ίσο με το πέμπτο ψηφίο. Πόσους τέτοιους αριθμούς μπορούμε να βρούμε;

3. Και ένα παλαιάς κοπής, πρακτικής αριθμητικής, του Σαμ Λόιντ που όμως έχει ενδιαφέρον: Ενας σκύλος και μια γάτα υποχρεώνονται να τρέξουν μια απόσταση 100 μέτρων και να επιστρέψουν στην αφετηρία. Πηγαίνοντας, ο σκύλος τρέχει κάνοντας άλματα των 3 μέτρων το καθένα και η γάτα άλματα των 2 μέτρων. Στην επιστροφή γίνεται ακριβώς το αντίθετο. Ποιος τερματίζει πρώτος;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Σε μια δεξαμενή νερού προσαρμόζονται δύο σωλήνες Α και Β. Ο Α μπορεί να γεμίσει τη δεξαμενή σε 1,5 ώρα και ο Β να την αδειάσει στον μισό χρόνο από ό,τι ο Α. Το στόμιο όμως του Β αυτή τη φορά προσαρμόστηκε σε ένα σημείο που απέχει από τον πυθμένα στο (1/3) του ύψους της δεξαμενής. Ανοίγουμε ταυτόχρονα τις δύο αντλίες. Σε πόση ώρα θα γεμίσει η δεξαμενή; Ξεκινούμε από τον Α και παρατηρούμε πως σε μία ώρα γεμίζει τα (2/3) της δεξαμενής. Ο Β αδειάζει τη δεξαμενή στον μισό χρόνο από τον Α, άρα στη 1 ώρα αδειάζει το (1/3) της δεξαμενής. Επειδή όμως προσαρμόστηκε σε σημείο στο (1/3) της δεξαμενής πρέπει για να αρχίσει να αδειάζει ο Β να έχει ανέβει η στάθμη του νερού στο (1/3) της δεξαμενής. Αφού ο Α γεμίζει τα (2/3) σε μία ώρα, για το (1/3) χρειάζεται μισή ώρα. Στη συνέχεια μέσα σε 1 ώρα ο ένας γεμίζει τα (2/3) και ο άλλος αδειάζει το (1/3), άρα μαζί όταν λειτουργούν γεμίζει το (1/3) της δεξαμενής σε 1 ώρα. Μας έχει μείνει ακόμη (1/3), άρα άλλη 1 ώρα, οπότε συνολικά χρειάζονται 2,5 ώρες.

2. Εχουμε στη διάθεσή μας ν ίδιους κύβους και προσπαθούμε να φτιάξουμε με αυτούς έναν όσο γίνεται πιο μεγάλο κύβο (χωρίς όμως εσωτερικά κενά). Τελικά διαπιστώνουμε πως μας λείπουν τόσοι όσοι χρειάζονται για μια σειρά ακόμη σε μια από τις πλευρές. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός ν διαιρείται ακριβώς από το 6. Υποθέτουμε ότι είναι χ ο αριθμός των μικρών κύβων σε μια πλήρη σειρά. Ισχύει ότι: ν = χ3 – χ ή ν = χ(χ2 – 1), άρα ν = χ(χ + 1)(χ – 1). Αυτοί οι τρεις παράγοντες όμως εκφράζουν και τρεις διαδοχικούς θετικούς ακεραίους αριθμούς. Σε τέτοιες τριάδες συμβαίνει πάντα ο ένας τουλάχιστον παράγοντας να είναι άρτιος αριθμός και ένας διαιρείται ακριβώς με το 3. Αν όμως ένας αριθμός διαιρείται με το 2 και το 3, διαιρείται πάντα και με το 6.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα