Απροσδόκητες συναντήσεις

Το παιχνίδι που εξετάζαμε ήταν απλό: Δύο σωροί από αντικείμενα, ο κάθε παίκτης με τη σειρά παίρνει όσα θέλει από τον ένα σωρό ή αν θέλει ίδιο (υποχρεωτικά) αριθμό αντικειμένων από τους δύο σωρούς. Νικητής όποιος πάρει και το τελευταίο αντικείμενο του συνόλου (δεν επιτρέπεται να πεις πάσο και να μην πάρεις αντικείμενο). Υπάρχει στρατηγική νίκης;

Είχαμε αναφέρει ότι αν οι δύο παίκτες έχουν αποσύρει τόσα ώστε να υπάρχουν στον έναν σωρό μόλις 1 αντικείμενο και στον άλλον μόλις 2, τότε, με βάση τους κανόνες, όποιος έχει σειρά να παίξει θα χάσει. Διότι ή θα πάρει 1 ή 2 από έναν από τους σωρούς είτε 1 και 1, οπότε κερδίζει ο άλλος. Αν στον ένα σωρό μένουν 3 και στον άλλον 1; Τότε μπορεί να κερδίσει αυτός που είναι η σειρά του να παίξει, διότι απλά θα αποσύρει το ένα από τον σωρό με τα τρία αντικείμενα και θα φέρει τον αντίπαλο στη θέση που περιγράψαμε πριν. Πηγαίνοντας προς τα πίσω ένα βήμα διαπιστώνουμε πως αν μας έχουν μείνει 3 αντικείμενα στον έναν σωρό και 5 στον άλλον, δηλαδή στο ζεύγος (3, 5), ο αντίπαλος θα μας οδηγήσει εύκολα, αποσύροντας από 2 αντικείμενα στον κάθε σωρό, στην κατάσταση (1, 2) και θα χάσουμε. Το ίδιο αν βρεθούμε στο συμμετρικό (5, 3). Μπορούμε λοιπόν να κάνουμε έναν κατάλογο προς τα επάνω, των αντικειμένων στον κάθε σωρό, που αν οδηγηθούμε σε αυτά τα σύνολα ο αντίπαλος θα μας οδηγήσει σε ήττα.

Ξεκινώντας από την 9η κίνηση πριν το τέλος έχουμε…, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 και αντίστοιχα τα ζεύγη που χάνουν (14, 23), (12, 20), (11, 18), (9, 15), (8, 13), (6, 10), (4, 7), (3, 5), (1, 2). Εδώ ο παρατηρητικός αναγνώστης μπορεί να διακρίνει κάποιες σχέσεις. Η πρώτη και πιο ευδιάκριτη είναι πως η θετική διαφορά των αριθμών κάθε ζευγαριού αντιστοιχεί στον αριθμό της κίνησης. Π.χ. 23-14=9, 20-12=8,…, 2-1=1. Αλλη μια παρατήρηση είναι πως οι αριθμοί που εμφανίζονται στο ένα μέλος του ζευγαριού, στο πρώτο ή στο δεύτερο, δεν εμφανίζονται στο άλλο. Εχουμε δηλαδή τα σύνολα (14, 12, 11, 9, 8, 6, 4, 3, 1) και (23, 20, 18, 15, 13, 10, 7, 5, 2) που είναι ξένα μεταξύ τους.

Το πιο εντυπωσιακό όμως και το πιο απροσδόκητο είναι πως αν πάρουμε τον αριθμό που έχει ταυτιστεί με τη «χρυσή τομή», τον φ (περίπου 1,618) και το τετράγωνό του, φ² (2,61) και αυτά πολλαπλασιαστούν με τους αριθμούς των κινήσεων δηλαδή τους (…, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1), «πετώντας» το δεκαδικό τμήμα παίρνουμε τα ζευγάρια που χάνουν. Π.χ. 9×1,618=14,562 και 9×2,61=23,561. Δηλαδή το αντίστοιχο ζευγάρι (14, 23)!

Και μια τελευταία έκπληξη: Παρατηρώντας καλά τα ζευγάρια ανακαλύπτουμε πως υπάρχουν κρυμμένες ακολουθίες Fibonacci (π.χ. 1+2=3, 5+3=8 κ.λπ.).

Πνευματική γυμναστική

1. Τέσσερις μαθηματικοί είναι σε ηλικία κάτω των 70 ετών και η ηλικία του καθενός είναι πρώτος αριθμός. Πόσων ετών είναι ο νεότερος αν ο μέσος όρος της ηλικίας τους είναι τα 60 έτη;

2. Παίρνουμε όλους τους θετικούς ακέραιους από το 1 έως το ν (1, 2, 3, 4,…ν) και ανακατεύουμε τη σειρά τους όπως θέλουμε. Ας πούμε ότι τώρα τους έχουμε με τη σειρά: α₁,α₂,α₃,α₄,…α_ν. Φτιάχνουμε τις διαφορές (α₁-1), ( α₂-2),…( α_ν-ν). Δημιουργούμε το γινόμενο: Π= (α₁-1)( α₂-2)…( α_ν-ν). Αν το ν είναι περιττός να δείξουμε ότι το γινόμενο Π είναι άρτιος αριθμός.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Τρεις πειρατές έχουν βρει έναν θησαυρό που αποτελείται από χρυσά νομίσματα και διάφορα άλλα πολύτιμα αντικείμενα. Δεν διαθέτουν όμως εκείνη τη στιγμή ζυγαριά ή μέτρο για να χωρίσουν κάπως ισότιμα τα μερίδιά τους. Πώς μπορούν να κάνουν μια όσο το δυνατόν πιο δίκαιη μοιρασιά; Ο πρώτος πειρατής ξεχωρίζει και βάζει στην άκρη αυτό που νομίζει πως είναι ένα δίκαια επιλεγμένο 1/3του θησαυρού. Οι άλλοι δύο με τη σειρά τους έχουν δικαίωμα να πάρουν από αυτό το 1/3 ό,τι νομίζουν πως είναι παραπάνω. Οποιοσδήποτε άγγιξε τελευταίος αυτό το 1/3 το παίρνει υποχρεωτικά. Μπορεί δηλαδή να είναι και ο Α, αν οι δύο άλλοι δεν τροποποιήσουν το μερίδιο που επέλεξε ο Α. Στη συνέχεια οι δύο που έμειναν χωρίζουν εύκολα το υπόλοιπο. Ο ένας θα κόψει «στη μέση», δηλαδή όσο πιο δίκαια νομίζει αλλά θα διαλέξει ο άλλος μερίδιο.

2. Τρεις χώρες, τρεις μεγάλες δυνάμεις θέλουν να φθάσουν η καθεμία πρώτη από όλες σε ένα δεδομένο σημείο του Διαστήματος. Η καθεμία έχει δυνατότητα να ξοδέψει έως και 1 δισ. ευρώ. Με συμβατικό τρόπο απαιτούνται 1.600 ημέρες. Οποιος θέλει να συντομεύσει το ταξίδι, από την αγορά του προσφέρονται οι εξής δυνατότητες: 1. Υπάρχουν τρεις συμβατικοί κινητήρες όλοι κι όλοι με κόστος 400 εκατομμύρια ευρώ ο καθένας και με τον καθέναν συντομεύεται το ταξίδι κατά 200 ημέρες. 2. Οκτώ κινητήρες ιόντων προς 140 εκατομμύρια ευρώ ο ένας και κατανάλωση 5.000 κιλά του στοιχείου ξένον για το ταξίδι. Στη Γη υπάρχουν διαθέσιμα 30.000 κιλά ξένον με κόστος 2.000 ευρώ το κιλό. Για καθέναν κινητήρα ξένου που χρησιμοποιείται το ταξίδι συντομεύει κατά 50 ημέρες. 3. Με κόστος 50 εκατομμύρια ευρώ μπορεί όποιος θέλει να στείλει και ρομποτικούς μεταφορείς καυσίμου. Είναι μόνον τέσσερις και με τον καθέναν το ταξίδι συντομεύεται κατά 25 ημέρες. Με ποια στρατηγική μπορεί κάποια από τις δυνάμεις να φθάσει ΜΟΝΗ πρώτη; Σε ένα διαστημόπλοιο μπορεί να μονταριστούν και συμβατικοί και κινητήρες ιόντων. Επίσης επιτρέπονται τα πάντα. Από τη σχετική αλληλογραφία με τους αναγνώστες προκύπτει ότι από κάποιους διέφυγε πως το κλειδί του γρίφου είναι να κάνεις τέτοιες αγορές που ταυτόχρονα οι άλλοι να μη βρίσκουν κάποια ανταγωνιστική σύνθεση όπλων. Οπότε μια καλή λύση (υπάρχουν και άλλες) είναι: 2 συμβατικοί κινητήρες 2Χ400=800 εκατομμύρια που συντομεύουν το ταξίδι κατά 400 ημέρες. Εναν κινητήρα ιόντων προς 140 εκατομμύρια, οπότε συντομεύεται το ταξίδι ακόμη 50 ημέρες. 50 εκατομμύρια ευρώ θα ξοδευτούν για να αγοραστούν 25.000 κιλά αερίου ξένον. Χρειάζονται λιγότερα αλλά τα αγοράζει αυτός που θέλει να λείψουν από τους άλλους. Αρα το ταξίδι συντομεύεται κατά 450 ημέρες και φθάνεις μόνος έως εκεί.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα