Οι φυλές των μαθηματικών

Όχι μόνον δεν ήμουν κάτι ιδιαίτερο στα Μαθηματικά αλλά εξαιτίας τού ότι ξεκίνησα στο Φυσικό Τμήμα και όταν το τελείωσα συνέχισα σε Πολυτεχνείο, η σχέση μου με αυτά ήταν τόσο επιφανειακή όσο ήταν και με τον λογαριθμικό κανόνα πρώτα και τον υπολογιστή τσέπης στη συνέχεια. Ηταν δηλαδή τα Μαθηματικά ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για να λύνουμε τα προβλήματα της δικής μας «τέχνης». Αυτό μόνον. Και είχαμε ένα αίσθημα αυτοεκπλήρωσης όταν μάθαμε απλά να χειριζόμαστε ολοκληρώματα, διαφορικές εξισώσεις, μετασχηματισμούς Λαπλάς για σύνθετα κυκλώματα και δέλτα-συναρτήσεις για ηλεκτρικούς παλμούς.

Ευτυχώς κάποιος πολύ καλός φίλος που είχε αυτοαπομονωθεί και μελετούσε επί χρόνια για τον εαυτό του φιλοσοφία των Μαθηματικών, κάποια στιγμή θέλησε να με τραβήξει από το μανίκι και να με κάνει να δω και κάποια άλλη διάσταση. Τότε ήταν που τουλάχιστον κατάλαβα πόσο μεγάλο επίτευγμα του ανθρώπινου πνεύματος συνολικά ήταν, έστω και μόλις εκατόν είκοσι χρόνια πριν περίπου, το να τεθεί από κάποιους το ερώτημα: «Είναι πράγματι αληθινά τα όσα βασικά υποστηρίζονται από τη μαθηματική θεωρία; Και αν η απάντηση είναι ναι, τι είναι αυτό που αποδεικνύει κάτι τέτοιο και τους δίνει την ξαφνικά απαιτούμενη αυτήν εγκυρότητα;».

Για την απάντηση σε αυτό το ερώτημα ανακατεύτηκαν μαθηματικοί και φιλόσοφοι. Και άρχισαν οι αντιγνωμίες και ο κατακερματισμός. Αποκτήσαμε και εκεί «Big 4», όπως έχει και το ποδόσφαιρό μας, και ελάσσονες ομάδες και οι πόλεμοι μεταξύ τους μερικές φορές έχουν κάτι από τον φανατισμό της κερκίδας! Αυτό λοιπόν που βρίσκω χρήσιμο και για όποιον ακόμη δεν ενδιαφέρεται για τη φιλοσοφία των Μαθηματικών, είναι το να γνωρίζει τουλάχιστον ποιες είναι οι συγκρουόμενες «φυλές». Γιατί ακόμη και στα βιβλία εκλαϊκευμένης επιστήμης γίνονται συχνά αναφορές του τύπου αυτός είναι πλατωνιστής, αυτός φορμαλιστής, εκείνος κονστρουκτιβιστής.

Οι τέσσερις πιο κύριες απόψεις για τη φύση των Μαθηματικών είναι ο λογικισμός, ο πλατωνισμός, ο ιντουισιονισμός και ο φορμαλισμός.

Σύμφωνα με τους λογικιστές, οι αλήθειες στα Μαθηματικά είναι κατά βάθος αλήθειες που προκύπτουν από τη λογική μας. Για παράδειγμα, δίνοντας αρχικά τους κατάλληλους ορισμούς το 2+2=4 προκύπτει αβίαστα και αδιαμφισβήτητα. Πιο γνωστός «παίκτης» σε αυτή την ομάδα ήταν ο γερμανός φιλόσοφος Γκότλομπ Φρέγκε, στο τέλος του 19ου αιώνα. Συνέχισε στην ίδια περίπου γραμμή ο Μπέρτραντ Ράσελ μαζί με τον Γουάιτχεντ και το ογκώδες έργο τους «Principia Mathematica».

Η πιο… «γλυκιά συμμορία» είναι βέβαια αυτή των πλατωνιστών. Μας δίνει τα επιχειρήματα για να πιστέψουμε κάτι πολύ βολικό. Τα Μαθηματικά συνιστούν έναν κόσμο ιδεών ανεξάρτητο από τον δικό μας. Εμείς ζούμε σε έναν κόσμο φαινομένων και συμβάντων και αυτά προφανώς υποπίπτουν στις αισθήσεις μας. Από τις μαθηματικές ιδέες όμως προκύπτει ένα γλωσσικό ιδίωμα, υβριδικό ή ενδιάμεσο όπου οι μαθηματικοί με τη βοήθεια του μυαλού τους ανακαλύπτουν όπως θα έκανε ο εξερευνητής ενός νέου πλανήτη, έναν κόσμο που ήδη υπάρχει και περιμένει να ανακαλυφθεί. Τον αποτελούν καθαρές ιδέες ανεξάρτητες από τον υλικό κόσμο. Κάντορ, Γκέντελ, Πένροουζ, οι πιο διάσημοι εξερευνητές του.

Μας έχουν μείνει όμως για το επόμενο και κάποιες άλλες γνωστές και διάσημες «ομάδες».

Οι φυλές των μαθηματικών Νο 2

Μετά τους λογικιστές και τους πλατωνιστές που γνωρίσαμε στο προηγούμενο, ανεβαίνουν στη «σκηνή» οι εκπρόσωποι και άλλων διάσημων σχολών μαθηματικής σκέψης. Οι φορμαλιστές  έχουν την άποψη ότι τα Μαθηματικά μπορούν να θεωρούνται ως το αποτέλεσμα του χειρισμού συμβόλων όταν ακολουθούνται γι’ αυτά πολύ συγκεκριμένοι κανόνες.

Για παράδειγμα τα αξιώματα στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι τα strings, οι συμβολοσειρές που εφαρμόζοντας κάποιους συμπερασματικούς κανόνες (rules of inference) επάνω σε αυτές κάνουμε να εμφανιστούν νέες όπως είναι το πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό δηλαδή που λέμε μαθηματικές αλήθειες προκύπτει από κατάλληλους χειρισμούς μηχανικά. Αριθμοί, σύνολα, τρίγωνα «αλέθονται» κατάλληλα και δίνουν καινούργια αντικείμενα, κατάλληλα για επακόλουθους χειρισμούς.

Μια μετάλλαξη του φορμαλισμού είναι ο συμπερασματισμός (deductionism). Σε αυτόν το πυθαγόρειο θεώρημα δεν είναι μια απόλυτη αλήθεια αλλά μια σχετική αλήθεια. Αν στα strings που λέγαμε πριν ότι το αποτελούν, δηλαδή στις διάφορες γεωμετρικές υπαρκτές οντότητες, αποδώσουμε την κατάλληλη σημασία και όλα προκύψουν αληθή, τότε δεχόμαστε ως αληθές και το πυθαγόρειο θεώρημα. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ υπήρξε ο διασημότερος φορμαλιστής.

Υπάρχουν όμως και οι στρουκτουραλιστές που επιμένουν ότι τα Μαθηματικά έχουν να κάνουν με (νοητικές) κατασκευές και τις μεταξύ τους σχέσεις και όχι με αντικείμενα και τις ιδιότητές τους.

Πνευματική Γυμναστική

1. Δύο φίλοι βρίσκουν ένα χαρτονόμισμα των 20 ευρώ στον δρόμο. Αντί να το μοιραστούν αποφασίζουν να κάνουν το εξής: Θα γράψει ο καθένας ένα ποσόν, προσφοράς από 0 έως 20 (π.χ. 3,45 ευρώ) και όποιος θα έχει δώσει την υψηλότερη προσφορά θα πάρει το χαρτονόμισμα αλλά υποχρεούται να πληρώσει την προσφορά που έκανε ο άλλος. Εσείς τι προσφορά θα κάνατε; (Σε περίπτωση ισοπαλίας μοιράζονται στη μέση τα 20 ευρώ.)

2. Από ένα σημείο Α εκτός κύκλου φέρουμε δύο εφαπτόμενες στον κύκλο ευθείες που έχουν η καθεμία από το Α μέχρι το αντίστοιχο σημείο επαφής, Β και Γ, μήκος 10 εκατοστά. Αν σε οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μεταξύ των Β και Γ φέρουμε μια εφαπτομένη σχηματίζεται από τις τρεις εφαπτόμενες ένα τρίγωνο. Πόση είναι η περίμετρός του; (Αυτό αξίζει τον κόπο να το προσπαθήσει κάποιος χωρίς να κάνει το σχήμα.)

3. «Ρίχνουμε» επάνω σε ένα φύλλο χαρτί με το μολύβι μας, εντελώς τυχαία, έναν επίσης τυχαίο αλλά πεπερασμένο αριθμό σημείων. Μπορούμε στη συνέχεια πάντα να φτιάχνουμε μια ευθεία που θα χωρίζει ακριβώς στη μέση τον αριθμό των σημείων; (Αν μάλιστα το πλήθος τους είναι περιττός αριθμός, να περνάει και πάνω από ακριβώς ένα και μόνον ένα σημείο.)

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Τέσσερις μαθηματικοί είναι σε ηλικία κάτω των 70 ετών και η ηλικία του καθενός είναι πρώτος αριθμός. Πόσων ετών είναι ο νεότερος αν ο μέσος όρος της ηλικίας τους είναι τα 60 έτη; Κάποιος ή κάποιοι θα έχουν ηλικία πάνω από τα 60 και μικρότερη από 70. Μεταξύ 60 και 70 πρώτοι αριθμοί είναι οι 61 και 67. Κάτω από τα 60 πρώτοι αριθμοί είναι οι 53, 59. Οπότε ο γηραιότερος, αφού είναι τέσσερις δεν μπορεί να είναι 61, άρα θα είναι σίγουρα 67. Για να ισορροπήσουν οι ηλικίες και να προκύψει ο μέσος όρος 60 θα πρέπει ένας ακόμη να περνάει το 60 και οι δύο άλλοι να είναι 53 και 59. Οπότε ο νεότερος είναι 53 ετών.

2. Παίρνουμε όλους τους θετικούς ακέραιους από το 1 έως το ν (1, 2, 3, 4,… ν) και ανακατεύουμε τη σειρά τους όπως θέλουμε. Ας πούμε ότι τώρα τους έχουμε με τη σειρά: α1, α2, α3, α4,… αν. Φτιάχνουμε τις διαφορές (α1-1), ( α2-2),…, ( αν-ν). Δημιουργούμε το γινόμενο: Π= (α1-1)( α2-2)…( αν-ν). Αν το ν είναι περιττός να δείξουμε ότι το γινόμενο Π είναι άρτιος αριθμός. Αφού ο ν είναι περιττός η ακολουθία των ν αριθμών (1, 2, 3,… ν) ξεκινάει και τελειώνει σε περιττό αριθμό. Αρα ο αριθμός των περιττών όρων υπερβαίνει κατά έναν τους άρτιους. Το ίδιο θα συμβαίνει προφανώς και για το σύνολο των α1, α2, α3, α4,… αν. Επομένως στις διαφορές που έχουν δημιουργηθεί (α1-1)( α2-2)…( αν-ν) θα έχουμε και μία όπου θα είναι δύο περιττοί μαζί. Και επειδή η διαφορά δύο περιττών αριθμών είναι πάντα άρτιος προκύπτει πολλαπλασιασμός με άρτιο που θα δώσει πάλι άρτιο.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα