Η δική μου πάντως έτοιμη από καιρό απάντηση είναι το μηδέν. Αυτό το μικρό «στεφάνι» μαζί με το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα, με εννέα σύμβολα για το πλήθος των αντικειμένων από 1 έως 9 και μαζί ένα δέκατο, το μηδέν, επέτρεψε στον άνθρωπο να μπορεί να απεικονίσει οποιοδήποτε ποσό ή πλήθος, οσοδήποτε μεγάλο. Και στη συνέχεια να κάνει απίστευτα πολύπλοκες πράξεις και υπολογισμούς.

Το μηδέν συνδέεται επίσης και με τη συμμετρία και με την ισορροπία. Οχι μόνον εξαιτίας του σχήματος που διάλεξαν οι άνθρωποι τελικά να το αντιπροσωπεύει αλλά και διότι σε διάφορες πράξεις από τη ζύγιση παλαιότερα μέχρι τη λογιστική εξισορρόπηση των ποσών αυτά εξασφαλίζονται όταν το αποτέλεσμα είναι ίσο με το μηδέν. Αποδεικνύοντας πως το μηδέν δεν είναι πάντα το τίποτα. Και απαιτεί ακόμη τον σεβασμό μας.

Σεβασμός και στους αιώνες που χρειάστηκε να περάσουν μέχρι να παγιωθεί η παρουσία του. Από τους Σελευκίδες το 321 π.Χ. μέχρι τους Ρωμαίους στο 63 π.Χ., τα μαθηματικά της Μεσοποταμίας έκαναν άλλο ένα άλμα. Προστέθηκε ένα σύμβολο στη σφηνοειδή γραφή τους και στο αριθμητικό τους σύστημα με βάση το 60 (ακόμη υπάρχουν ίχνη του, π.χ. στα ρολόγια και στη μέτρηση του χρόνου). Το σύμβολο αυτό που έμοιαζε λίγο με κεκλιμένο Π χρησιμοποιήθηκε για να κρατάει μια θέση μέσα στην παράσταση ενός μεγάλου αριθμού.

Δηλαδή όπως στο δικό μας (μεταγενέστερο φυσικά) δεκαδικό σύστημα στον αριθμό 101 υπάρχει το 0 για να δείχνει ότι δεν έχουμε δεκάδες αλλά μια εκατοντάδα και μια μονάδα, έτσι τότε αυτό το κεκλιμένο Π έδειχνε την έλλειψη σε έναν αριθμό. Από εκεί που χρησιμοποιούσαν μιαν άδεια θέση χρησιμοποίησαν ένα σύμβολο συγκεκριμένο και αυτό ήταν μεγάλο βήμα.

Γύρω στο 628 μ.Χ. ο Ινδός Μπραμαγκούπτα αναγνώρισε το μηδέν και ως αριθμό πέρα από το κενό στην αναπαράσταση ενός αριθμού. Ενα απλούστατο κυκλικό σύμβολο αλλά και τεράστιο βήμα για την ανθρωπότητα.

Τα παράδοξαμε το μηδέν

Μία από τις πιο δύσκολες στιγμές, τουλάχιστον κατά τη δική μου εμπειρία, της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι τα σχετικά με το μηδέν. Κυρίως στους μικρούς μαθητές. Και κατ’ αρχάς ποια είναι η πλέον κατάλληλη ηλικία για να μιλήσει κάποιος σε ένα μικρό παιδί για το μηδέν; Θυμάμαι πως ταλαιπώρησα αρκετά ακόμη και τους γονείς μου όταν εκείνοι παίρνοντας το πιο φυσικό ύφος του κόσμου μού έλεγαν «αν πολλαπλασιάσεις μηδέν φορές το πέντε παίρνεις μηδέν. Εντάξει;». Ενα τεράστιο όχι τους έλεγε το βλέμμα μου αλλά η απάντησή μου ήταν ναι, για να με αφήσουν ήσυχο με την απορία μου. Τώρα βέβαια, επειδή πιστεύω πολύ και στα «σωματικά» Μαθηματικά φροντίζω με ένα από εκείνα τα πλαστικά στεφάνια της γυμναστικής να εξοικειώνω όποιο παιδί χρειαστεί βοήθεια για την κατανόηση του μηδενός να το βάζω να περνάει αρκετές φορές μέσα από το στεφάνι αυτό ώστε να συνδέσει το σχήμα με το ότι περνάμε από μέσα και δεν συμβαίνει κάτι ή δεν υπάρχει κάποιο εμπόδιο. Αυτό βοηθάει στη συνέχεια.

Επειδή η πρόσθεση είναι πολύ αποτελεσματικό να παρουσιάζεται πρώτα (και πάλι σωματικά) με τη βοήθεια των συνόλων, δηλαδή με σακουλάκια όπου υπάρχουν π.χ. 3 και 2 αντικείμενα που δίνουν άθροισμα 5 όταν μπουν όλα σε ένα τρίτο, ενώ ένα σακουλάκι με 2 αντικείμενα και ένα εντελώς άδειο δίνουν πάλι 2, η πρόσθεση και η αφαίρεση με το μηδέν γίνονται γρήγορα κατανοητές. Ο πολλαπλασιασμός όμως και η διαίρεση θέλουν ιδιαίτερη εξήγηση διότι εκεί έχουμε ορισμούς και παράδοξα.

Πνευματική Γυμναστική

1. Κάποιος λέει ότι όλα τα ζώα που έχει στο σπίτι του είναι σκύλοι εκτός από δύο. Επίσης, λέει, όλα τα ζώα που έχει στο σπίτι του είναι γάτες εκτός από δύο και τέλος όλα τα ζώα που έχει στο σπίτι του είναι ψάρια εκτός από δύο. Πόσα ζώα έχει;

2. Σε ένα κιβώτιο έχουν τοποθετηθεί 75 λευκές μπάλες και 150 μπλε. Δίπλα στο κιβώτιο υπάρχουν και αρκετές ακόμη μπλε. Αφαιρούμε κάθε φορά με κλειστά μάτια δύο μπάλες από το κιβώτιο. Αν είναι και οι δύο μπλε τοποθετούμε πίσω τη μία και αφήνουμε έξω την άλλη. Αν είναι μία μπλε, μία λευκή, τότε τοποθετούμε πίσω τη λευκή και αφήνουμε έξω την μπλε. Αν και οι δύο είναι λευκές τις αφήνουμε έξω και τοποθετούμε πίσω στο κιβώτιο μία μπλε. Στο τέλος προφανώς θα μείνει μία μπάλα στο κιβώτιο. Τι χρώμα θα έχει;

3. Ενα τρένο διανύει μια απόσταση 500 χιλιομέτρων χωρίς στάση με ταχύτητα που μεταβάλλεται ακανόνιστα. Ομως τελικά τα 500 χιλιόμετρα τα έκανε σε 10 ώρες, άρα η μέση ταχύτητά του ήταν 50 χιλιόμετρα την ώρα. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι σε κάποια φάση της διαδρομής έκανε οπωσδήποτε τα 50 χιλιόμετρα σε ακριβώς 1 ώρα;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Με 27 κύβους ακμής 1 εκατοστού φτιάχνουμε έναν μεγαλύτερο κύβο 3x3x3. Μπορούμε τον ίδιο κύβο να τον φτιάξουμε χρησιμοποιώντας κάποιους από τους 27 και κάποιον ή κάποιους με διαφορετική ακμή (ακμή = η πλευρά κάθε κύβου); (Δόθηκε σε μαθηματικό διαγωνισμό της Ουγγαρίας για 11χρονα!) Από τους 27 κύβους ακμής 1 εκατοστού μπορεί να προκύψει και ένας μεγαλύτερος με διαστάσεις 2x2x2=8 ενσωματωμένος στον 3x3x3.

2. Μας δίνουν όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 1.000.000. Και μας ζητούν να υπολογίσουμε το άθροισμα των ψηφίων όλων αυτών των αριθμών. Δηλαδή να αθροίσουμε 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+…+(9+9+…+9)+1(το 1 αυτό από το 1.000.000). Προφανώς κάποιο τέχνασμα θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε. Και ξεκινούμε παίρνοντας τα ζευγάρια: (999.999+0), (999.998+1), (999.997+2)… Παρατηρούμε πως τα αθροίσματα των ψηφίων είναι όλα ίσα με το 54. Αρα το άθροισμα όλων βγαίνει 54 εκατομμύρια και επειδή πήραμε δύο φορές τους αριθμούς από το 1 έως το 999.999 διαιρούμε διά δύο και δεν ξεχνάμε να προσθέσουμε και το 1 από το 1.000.000, άρα το άθροισμα είναι 27.000.001.

3. Σε ένα εκκρεμές τοίχου, όταν ο ωροδείκτης ήταν ακριβώς στην ώρα του, ο λεπτοδείκτης βρισκόταν πάντα 7 λεπτά πιο μπροστά (από τη θέση 12 που έπρεπε κανονικά να βρίσκεται). Η σύζυγος ζήτησε από τον σύζυγο να το διορθώσει (αλλάζοντας ίσως το μήκος). Ο σύζυγος της λέει: Το απόγευμα, διότι αυτή τη στιγμή είναι περασμένες 8 (το πρωί) και πρέπει να είμαι κάπου πριν τις 9. Εκείνη τη στιγμή ωροδείκτης και λεπτοδείκτης φαινόταν να είναι ο ένας ακριβώς επάνω στον άλλον. Τι ώρα ήταν; Ο χρόνος που ψάχνουμε είναι χ ώρες και ψ λεπτά. Ο λεπτοδείκτης έδειχνε πάντα +7 λεπτά. Αν λοιπόν ψ είναι η πραγματική τιμή των λεπτών, ο λεπτοδείκτης έδειχνε (ψ+7). Ο ωροδείκτης μετακινείται σε μία ώρα επάνω στην πλάκα του ρολογιού κατά ένα διάστημα που αντιστοιχεί στα 5 λεπτά. Αρα για τις χ ώρες που ψάχνουμε ο ωροδείκτης θα έχει βρεθεί στο σημείο 5χ + κάποια ή κάποιες υποδιαιρέσεις μέσα στο πεντάλεπτο. Πόσο είναι το μήκος της καθεμιάς; 5/60 ή 1/12. Αρα ο ωροδείκτης βρίσκεται στη θέση [5χ+(ψ/12)]. Αφού εκείνη τη στιγμή συμπίπτουν οι θέσεις ωροδείκτη-λεπτοδείκτη ισχύει [5χ+(ψ/12)]= ψ+7. Από αυτή τη σχέση, χρησιμοποιώντας και την πληροφορία ότι ήταν περασμένες 8 αλλά όχι 9 η ώρα, θα ισχύει ότι χ=8, άρα ψ=36. Και η ώρα ήταν 8 και 36 το πρωί.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα