Ενα από τα πιο δύσκολα, που αναφέρεται και σε διδακτορικό στο Πανεπιστήμιο του Μπέρκλι στην Καλιφόρνια είναι το εξής: Τοποθετούμε καπέλα μπλε ή κόκκινα σε μια ομάδα μαθητών (ο αριθμός δεν έχει σημασία, αρκεί να είναι πεπερασμένος). Στρίβουμε ένα νόμισμα κάθε φορά για να προκύπτει τυχαία ποιος θα πάρει μπλε ή κόκκινο. Βλέπουν όλοι όλους αλλά δεν ξέρουν το χρώμα του δικού τους καπέλου.

Ο καθένας έχει μπροστά του 3 πλήκτρα για Μπλε, Κόκκινο, Πάσο (δηλαδή δεν δίνω κάποιο από τα δύο χρώματα). Πατούν όλοι υποχρεωτικά και ταυτόχρονα ένα από τα τρία πλήκτρα μόλις δοθεί το σύνθημα. Αν πάνε όλοι πάσο χάνουν. Για να πάνε εκδρομή πρέπει χωρίς επικοινωνία μεταξύ τους εκείνες τις στιγμές να πετύχουν κάποιος ή κάποιοι το χρώμα του(ς) και οι άλλοι να έχουν πάει πάσο. Αν ένας κάνει λάθος πάει η εκδρομή, πέταξε. Ζητείται το ποια συνεννόηση μεταξύ τους πρέπει να γίνει από πριν για να μεγιστοποιήσουν τις πιθανότητες επιτυχίας τους.

Μια καλή προσέγγιση είναι να ξεκινήσουμε θεωρώντας ένα σύνολο από τρεις μόνον μαθητές. Ποια μπορεί να είναι μια απλούστατη στρατηγική; Εδώ μπορεί όποιος μας παρακολουθεί να κάνει κάποια προσπάθεια μόνος του πριν συνεχίσει την ανάγνωση του κειμένου.

1η λύση: Μόνον ένας και ορισμένος από πριν θα πατήσει συμφωνημένα το «κόκκινο» (ή «μπλε» το ίδιο κάνει) και οι άλλοι θα πατήσουν «πάσο». Αυτό δίνει πιθανότητα επιτυχίας 50% και είναι μια κατώτατη τιμή εκκίνησης, θα λέγαμε, για την αναζήτηση μεγαλύτερων ποσοστών επιτυχίας.

2η λύση: Αν ένας από τους μαθητές βλέπει τους άλλους δυο να έχουν το ίδιο χρώμα καπέλων πατάει το κουμπί με το άλλο χρώμα. Οποιος βλέπει τους άλλους δυο να έχουν διαφορετικά χρώματα πατάει «πάσο». Εστιάζουμε τώρα στις δυσμενείς περιπτώσεις αυτής της στρατηγικής. Αν τύχει να έχουν και οι τρεις το ίδιο χρώμα καπέλου θα πατήσουν και οι τρεις το άλλο χρώμα και θα έχουν κάνει λάθος και οι τρεις! Αν δύο έχουν το ίδιο χρώμα καπέλου και ο τρίτος διαφορετικό τότε θα πατήσει για χρώμα μόνον αυτός, θα είναι το αντίθετο από αυτό που βλέπει και θα είναι σωστός. Πόση είναι η πιθανότητα επιτυχίας εδώ; Η πιθανότητα ένα καπέλο να έχει το ένα ή το άλλο χρώμα είναι 1/2. Οπότε πιθανότητα τα τρία καπέλα να έχουν ταυτόχρονα το ίδιο χρώμα είναι (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8. Και 1/8 για το άλλο χρώμα, άρα συνολικά (1/8) + (1/8) = (1/4) ή 25% πιθανότητα αποτυχίας. Τα υπόλοιπα (3/4) επομένως δίδουν 75% πιθανότητα επιτυχίας αυτής της στρατηγικής. Και έτσι από το 50% ήδη ανεβήκαμε στο 75%.

Υπάρχει κάτι καλύτερο και από αυτό; Θα το δούμε την επόμενη φορά. Εως τότε υπάρχει χρόνος για ψάξιμο.

Ο εναλλακτικός πολλαπλασιασμός

Για να βρούμε… εναλλακτικά το γινόμενο των αριθμών 97 και 23, διαιρέσαμε διαδοχικά τον πρώτο διά 2 και τον δεύτερο τον πολλαπλασιάζαμε επί 2. Στη διαίρεση αν προέκυπτε υπόλοιπο το αγνοούσαμε. Προέκυψαν τα ζευγάρια (97, 23), (48, 46), (24, 92), (12, 184), (6, 368), (3, 376), (1, 472). Αγνοούμε τα ζευγάρια που το πρώτο μέλος τους είναι άρτιος αριθμός και προσθέτουμε από τα ζευγάρια που μένουν τα δεύτερα μέλη: 23+736+1.472 = 2.231. Που είναι και το σωστό αποτέλεσμα.
Πώς εξηγείται; Σε κάποιους οι διαιρέσεις θα θυμίσουν τη μετατροπή αριθμού από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα και σωστά. Εχουμε 7 ζευγάρια και τους αντιστοιχούμε τις δυνάμεις του 2 ως εξής: (97, 23): 20 , (48, 46): 21, (24, 92): 22 , …(1, 472): 26. Στη συνέχεια κρατήσαμε όσα είχαν πρώτο μέλος περιττό αριθμό: (97, 23), (3, 376), (1, 472) που τους αντιστοιχούν τα 20, 25 , 26. Προφανώς 20+25+26 = 97. Αυτοί οι τρεις παράγοντες πολλαπλασιάζονται πλέον με τον δεύτερο αριθμό, τον 23, και προστίθενται τα αποτελέσματα: (23×20) + (23×25) + (23×26). Εχουμε 23 (= 23×20), 736 (= 23×25), 1.472 (= 23×26) και το άθροισμά τους είναι 2.231. Το γινόμενο δηλαδή 97×23. Οπως βλέπουμε τελικά ο πολλαπλασιασμός μας δεν είναι και τόσο πρωτόγονος (όπως τον είχαμε επίτηδες – λίγο ειρωνικά – χαρακτηρίσει) αφού αναμειγνύεται το δυαδικό σύστημα, που είναι μέρος της λειτουργίας των σημερινών υπολογιστών.

Πνευματική Γυμναστική

1. Κάποιος διάλεξε έναν πενταψήφιο αριθμό και στη συνέχεια του έκοψε ένα ψηφίο (δεν μας δίδεται εξ αρχής από ποια θέση, πρέπει να το βρούμε εμείς) δημιουργώντας έναν τετραψήφιο αριθμό. Το άθροισμα του πενταψήφιου και του νέου τετραψήφιου είναι ο ακέραιος 52.713. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων που αποτελούσαν τον αρχικό πενταψήφιο αριθμό;

2. Το παρακάτω πρόβλημα αποδίδεται στον άγγλο μαθηματικό Χένρι Ερνεστ Ντιούντνι (1857-1930), διάσημο για τους γρίφους του. Το βρήκα λυμένο σε ένα βιβλίο με τρόπο «φακίρικο» έως και λάθος. Πιστεύω πως αξίζει να ασχοληθούμε λεπτομερώς με αυτό: Ενα ποταμόπλοιο αναχωρεί από την αποβάθρα 1 και ανεβαίνει κόντρα στο ρεύμα έως την αποβάθρα 2 μέσα σε 20 ώρες. Στην επιστροφή από τη 2 μέχρι την 1 χρειάζεται μόνον 15 ώρες. Αν δεν υπήρχε το ρεύμα του ποταμού σε πόσες ώρες θα έκανε το ταξίδι από την 1 στη 2;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Εχουμε ένα τετράγωνο διαστάσεων (α x α). Οπου το α είναι περιττός ακέραιος θετικός αριθμός. Την επιφάνεια αυτήν τη διαιρούμε σε τετραγωνικά πλακίδια διαστάσεων 1×1. Αφαιρούμε την εξωτερική σειρά με τα πλακίδια 1×1 και από τις τέσσερις πλευρές και τα πλακίδια 1×1 στις δύο διαγώνιες του τετραγώνου. Να βρεθεί η απλούστερη δυνατή έκφραση με τη βοήθεια του α για τον αριθμό των πλακιδίων που έμειναν. Αρχίζουμε την καταμέτρηση των πλακιδίων 1×1 που έχουν αφαιρεθεί.
Σε κάθε διαγώνιο έχουμε από α κομμάτια 1×1, και επειδή ο αριθμός α είναι περιττός, αφαιρώντας τις δύο διαγώνιες έχουμε αφαιρέσει συνολικά α + (α-1) = 2α – 1. Το (α-1) είναι για να μη μετρήσουμε δύο φορές το κεντρικό πλακίδιο. Τώρα στην κάθε εξωτερική πλευρά έχουν μείνει (α-2) πλακίδια των 1×1. Αφαιρώντας και αυτά έχουμε αφαιρέσει συνολικά: (2α – 1) + 4(α-2) = 6α – 9. Αρα έχουν μείνει α2 – (6α – 9) που δίνει τελικά (α – 3)2.

2. Εχουμε τρεις κάρτες. Η πρώτη είναι λευκή και στις δύο όψεις της. Η δεύτερη είναι μαύρη και στις δύο όψεις της ενώ η τρίτη είναι λευκή στη μία όψη και μαύρη στην άλλη. Τις τοποθετούμε σε μια σακούλα και μετά από ένα καλό ανακάτεμα τραβάμε και τοποθετούμε τη μία στο τραπέζι. Η όψη που βλέπουμε είναι μαύρη. Ποια είναι η πιθανότητα και η άλλη όψη να είναι μαύρη; Στις τρεις κάρτες αντιστοιχούν 6 όψεις. Από αυτές οι 3 είναι μαύρες. Οι 2 στις 3 ανήκουν στη μαύρη κάρτα. Αρα αντικρίζοντας τη μαύρη όψη η πιθανότητα και στην άλλη όψη να έχουμε μαύρο χρώμα είναι 2 στις 3 ή (2/3).

Έντυπη έκδοση Το Βήμα