Ψάχναμε σε αυτό δύο ημερομηνίες μέσα σε μια χρονιά και ακόμη πιο αυστηρά μέσα στον ίδιο μήνα, με απόσταση μεταξύ τους έως δύο εβδομάδες, γραμμένες η κάθε μία ως κλάσμα, με τον εξής τρόπο: (μήνας/ημέρα) π.χ. (7/12) είναι η 12η Ιουλίου (*από λάθος είχε δοθεί ανάποδα το κλάσμα, οι ημέρες στον αριθμητή, και ζητώ συγγνώμη από όσους ταλαιπωρήθηκαν μέχρι να το καταλάβουν από το ότι δεν έβγαινε η αφαίρεση). Η ιδιαιτερότητά τους είναι πως η διαφορά των δύο κλασμάτων θα είναι ίση με (22/7) που δίνει κατά προσέγγιση την τιμή του π. Διότι σε αυτές τις δυο εβδομάδες (υποτίθεται ότι) θα γίνεται ο εορτασμός για τον αριθμό π=3,141…

Ας δούμε επομένως πώς μια πρώτη σχέση βάζει τις βάσεις για να προχωρήσουμε. Σύμφωνα με την εκφώνηση θα ισχύει [(α/β) – (γ/δ)] = (22/7) αφού (22/7) = 3,142857. Αυτό που θα ψάξουμε στη συνέχεια είναι οι τιμές των α, β, γ, δ. Ο πρώτος περιορισμός, που αρχίζει να προσδιορίζει τα όρια των α και γ είναι πως και οι δύο, αφού πρόκειται για  μήνες, μπορούν να έχουν τιμές μόνον μεταξύ 1 και 12. Ενώ οι β και δ τιμές μόνον μεταξύ 1 και 31. Το κλάσμα (22/7) είναι μεγαλύτερο του 3, άρα και το (α/β) θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το (22/7), άρα και μεγαλύτερο του 3, για να μπορεί να γίνει η αφαίρεση. Από την (α/β) > 3 προκύπτει ότι το β δεν μπορεί να είναι ίσο ή μεγαλύτερο του 4 αφού η μεγαλύτερη τιμή του α είναι 12 (διότι για 12/4 = 3 δεν θα ισχύει η ανισότητα).

Η αρχή της γιορτής

Ετσι καταλήγουμε πως οι μοναδικές πιθανές τιμές τού β είναι: 1, 2 ή 3, δηλαδή στην αρχή του μήνα. Αφού οι ημερομηνίες θα είναι μέσα στον ίδιο μήνα, με τη διαφορά τους να είναι έως το πολύ 15 ημέρες, θα πρέπει να είναι α = γ (επειδή α και γ αντιστοιχούν στον μήνα). Αν κάνουμε τις πράξεις στη διαφορά [(α/β) – (γ/δ)] προκύπτει ότι [(αδ – βγ)/βδ] = (22/7). Αρα το γινόμενο βδ θα είναι πολλαπλάσιο του 7 ή ίσο με αυτό. Το β όμως έχουμε βρει ότι έχει τιμές 1, 2 ή 3 άρα το δ έχει σχέση με το 7. Θα είναι δηλαδή 7 ή 14 ή 21 ή 28. Αλλά οι τιμές 21 και 28 πρέπει να απορριφθούν. Γιατί; Διότι το β δεν μπορεί να έχει τιμή μεγαλύτερη από 3. Αν αφαιρέσουμε όμως 21 – 3 = 18 και ακόμη χειρότερα 28 – 3 = 25 δηλαδή οι ημέρες που θα διαρκούσε η γιορτή θα ήταν περισσότερες από 15, αντίθετα με την υπόθεσή μας. Μένουν επομένως οι τιμές 7 και 14 για το δ. Στη συνέχεια από την α = γ η [(α/β) – (γ/δ)] γίνεται α[(1/β)-(1/δ)] = (22/7) ή 7α(δ-β) = 22βδ.

Παιχνίδι με το 11

Επειδή 22 = 11 x 2 εστιάζουμε στο 11. Το 11 θα πρέπει να διαιρεί ακριβώς ή το α ή το (δ-β). Ας υποθέσουμε πως ισχύει το πρώτο. Αφού το α έχει τιμή μεταξύ 1 και 12 δεν μπορεί παρά να είναι ίσο με 11. Ομως τότε θα έχουμε 7(δ – β) = 2βδ με β ίσο προς 1, 2 ή 3 και δ ίσο προς 7 ή 14. Η β = 1 αποκλείεται διότι τότε: 7(δ – 1) = 2δ. Δυο ακέραιοι αριθμοί όμως που διαφέρουν κατά 1 δεν έχουν κοινούς παράγοντες να τους διαιρούν ακριβώς και αυτό θα συμβαίνει και για τους δ και (δ – 1). Αρα  δεν μπορεί να ισχύει αυτή η σχέση.

Για β = 2 έχουμε 7(δ – 2) = 4δ. Το δεξιό μέλος είναι άρτιος και για να είναι και το αριστερό δεν μπορεί το δ να είναι 7 διότι (δ – 2) = (7 – 2) = 5 και επί το 7 δίνει περιττό. Αρα πρέπει το δ να είναι 14. Αλλά τότε η αρχική γίνεται (11/2) – (11/14) = (22/7) όπου δεν έχουμε ισότητα. Επίσης με β = 3 θα έχουμε 7(δ – 3) = 6δ που δίνει τελικά δ = 21 ενώ είχαμε καταλήξει πως δ = 7 ή 14. Αρα άτοπο, άρα τελικά το 11 δεν διαιρεί το α, άρα διαιρεί το (δ – β). Μόνον που αφού δεν θα υπερβαίνουν οι εορτασμοί τις δύο εβδομάδες η διαφορά των ημερών (δ – β) δεν μπορεί να είναι άλλο πολλαπλάσιο του 11, άρα το μόνο που μένει είναι να ισχύει (δ – β) = 11. Με τιμές στο β: 1, 2 ή 3 το δ δεν μπορεί να είναι 7, άρα θα είναι 14 και το β θα είναι 3. Και από την (α/3) – (α/14) = (22/7) έχουμε α = 12. Ο μήνας είναι ο Δεκέμβριος και οι ημερομηνίες είναι από 3.12 έως 14.12.

Πνευματική Γυμναστική

1. Κάποιος δραπετεύει από το σημείο που ήταν έγκλειστος και τρέχει με ταχύτητα 8 χιλιομέτρων την ώρα. Μετά από μια ώρα γίνεται αντιληπτή η απόδραση και αρχίζει να τον καταδιώκει ένας υπάλληλος που τρέχει με ταχύτητα 10 χιλιομέτρων την ώρα. Μαζί του έχει και έναν σκύλο που τρέχει ελεύθερος με ταχύτητα 15 χιλιομέτρων την ώρα. Ο σκύλος κινείται συνεχώς πηγαίνοντας έως τον δραπέτη και πίσω στον υπάλληλο ώσπου ο υπάλληλος προλαβαίνει τον δραπέτη. Ζητείται η συνολική απόσταση που διήνυσε ο σκύλος (αλλά προσοχή) τρέχοντας μόνον προς τα εμπρός.
2. Ενα παιδάκι κάνει τα πρώτα του βήματα, ξεκινώντας από το να στηρίζεται στον καναπέ. Στη θέση αυτήν η πιθανότητα να κάνει ένα βήμα μακριά από τον καναπέ είναι 25% και η πιθανότητα να μείνει ακουμπισμένο εκεί είναι 75%. Αν κάνει το πρώτο βήμα μακριά από τον καναπέ η πιθανότητα να κάνει άλλο ένα βήμα πιο μακριά είναι 25%, να μείνει στη θέση του 25% και να κάνει ένα βήμα πίσω 50%. Για πόσο ποσοστό του χρόνου προκύπτει ότι μένει στον καναπέ; [αν χρειαστεί, η σειρά 1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+… συγκλίνει στο 2.]

Η απάντηση στο προηγούμενο κουίζ

Υπάρχουν τρία κουτιά στο δωμάτιο και μια δεσμίδα από κάρτες αριθμημένες από το 1 έως το 100. Σας λένε να τις μοιράσετε όλες όπως εσείς θέλετε στα τρία κουτιά, αρκεί να υπάρχει τουλάχιστον μία σε κάθε κουτί. Το κάνετε και γυρίζετε την πλάτη. Κάποιος παριστάμενος παίρνει δυο κάρτες, μία από κάθε κουτί, αθροίζει τους αριθμούς τους και σας λέει το άθροισμα. Εσείς τότε μπορείτε αμέσως να του πείτε από ποιο κουτί δεν πήρε κάρτα. Με ποιον ή ποιους τρόπους μοιράζετε τις κάρτες στα κουτιά; Η πιο άμεση αλλά όχι και η πιο κομψή λύση είναι να τοποθετηθεί η κάρτα με τον αριθμό 1 στο πρώτο κουτί, η κάρτα με τον αριθμό 100 στο δεύτερο και όλες οι άλλες (2-99) στο τρίτο κουτί. Αν το άθροισμα είναι 101 τότε επιλέχθηκαν τα κουτιά 1 και 2. Αν είναι μικρότερο από 101 τότε πήρε από τα 1 και 3. Για άθροισμα μεγαλύτερο από το 101 έμεινε έξω το 1. Υπάρχει όμως και μια άλλη πολύ πιο ομαλή κατανομή με γενικότερη λύση. Ποια είναι αυτή;

Έντυπη έκδοση Το Βήμα