Την προηγούμενη εβδομάδα γνωρίσαμε τον ούγγρο μαθηματικό Φάρκας Μπόιαϊ που με πολλές δυσκολίες κατάφερε να σπουδάσει και αναγκάστηκε να επιστρέψει από τη Γερμανία στην Ουγγαρία με τα πόδια λόγω της ανέχειας. Εκεί κατάφερε να διοριστεί σε ένα κολέγιο για να διδάξει Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία. Αλλά δυστυχώς τα χρήματα ήταν πολύ λίγα. Ετσι όμως ο γάμος του και ο ερχομός ενός παιδιού τον αναγκάζουν να γίνει ένας πολυτεχνίτης που γράφει δράματα, διαχειρίζεται τη λέσχη του κολεγίου, σχεδιάζει τούβλα και σιδερένιες σόμπες! Χωρίς να πάψει να θέλει να κάνει και εργασίες στα Μαθηματικά. Μόνον που του γίνεται εμμονή το να αποδείξει ότι το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη δεν ήταν ανεξάρτητο (άρα δεν ήταν αξίωμα) και μπορούσε να προκύψει από τα άλλα τέσσερα. Εφθασε να δομήσει μια ολόκληρη απόδειξη μέχρι που ο (παλαιός φίλος του) Γκάους το υπέδειξε το λάθος του.

«Εχω ανακαλύψει όμορφα πράγματα, που εξέπληξαν ακόμη και εμένα»

Ο Φάρκας μεγαλώνει τον γιο του Γιάνος, που γεννήθηκε το 1801, ως κατ’ οίκον διδασκόμενο αποδεικνύοντας ότι είναι κι αυτό ένας τρόπος, αν και όχι ο καλύτερος. Ο μικρός Γιάνος στα έξι του μπορούσε να αναγνωρίσει κάποια άστρα στον ουρανό, να γνωρίζει κάποια πράγματα για τους γαλαξίες, έμαθε να διαβάζει μόνος του, μετά από λίγο άρχισε να μαθαίνει λατινικά. Στα άλλα μαθήματα ήξερε ό,τι «άρπαζε» από τους μαθητές του πατέρα του που έρχονταν στο σπίτι ενώ Μαθηματικά διδασκόταν από τον πατέρα του. Κανονικά στο σχολείο πήγε στα δεκατρία του στην 4η Γυμνασίου. Μετά από δυο χρόνια ο Φάρκας ήθελε να τον στείλει στο Γκέτινγκεν, γιατί εκεί ήταν ο παλιός γνωστός του, ο μεγάλος Γκάους, αφού είχε ήδη διδαχθεί Ευκλείδη, Οϊλερ, διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό. Αλλά ο Γκάους δεν απήντησε καν στο γράμμα του Φάρκας.

Μόνη λύση για να έχει ο νεαρός τα στοιχειωδώς απαραίτητα προς το ζην ήταν να μπει σε στρατιωτική σχολή. Κάτι που έγινε το 1818 και η φοίτηση κράτησε τέσσερα χρόνια. Εκεί διέπρεψε και ανταμείφθηκε με άλλον έναν χρόνο σπουδών. Απόφοιτος πλέον, στέλνεται σε μονάδα επιφορτισμένη με την ενίσχυση οχυρωμάτων. Αλλά συνεχίζει να ασχολείται με τα Μαθηματικά. Και κάποια στιγμή, Νοέμβριος του 1823,  γράφει στον πατέρα του: «Εχω ανακαλύψει όμορφα πράγματα, που εξέπληξαν ακόμη και εμένα. Και θα ήταν κρίμα να χαθούν. Θα δείτε και εσείς, αγαπητέ μου πατέρα. Δεν μπορώ να πω περισσότερα πέρα από το ότι δημιούργησα από το τίποτα έναν καινούργιο διαφορετικό κόσμο. Ο,τι σας έστελνα πριν ήταν σαν ένα σπίτι από τραπουλόχαρτα μπροστά σε αυτό».

Οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες είχαν γεννηθεί στο μυαλό του.

Πνευματική γυμναστική

1. 
   Ενα παλιό του Σαμ Λόιντ για τους μικρότερους αναγνώστες της σελίδας: Μισθώνει κάποιος ένα άλογο με τον οδηγό-ιδιοκτήτη του για να πάει από το χωριό Α στο Χ περνώντας ενδιάμεσα από το Π, όλα σε μια ευθεία. Μετά από πορεία 40 λεπτών ρώτησε τον οδηγό πόσο είχαν κάνει και εκείνος του απαντά έχουμε κάνει τον μισό χρόνο από όσο είναι από τώρα μέχρι το Π. Μετά από 7 ακόμη χιλιόμετρα ρώτησε ακόμη μια φορά πόσο έχουμε έως το Χ; «Το μισό από ό,τι για να πάμε πίσω έως το Π» ήταν η απάντηση. Και έφθασαν μετά από 1 ακόμη ώρα στον προορισμό τους στο Χ. Ζητείται η απόσταση από το Β στο Χ.

2. Τρεις διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι έχουν την ιδιότητα ο καθένας τους να διαιρεί ακριβώς το άθροισμα των άλλων δύο. Ζητούνται οι τριάδες των αριθμών που ικανοποιούν την παραπάνω ιδιότητα.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Εχουμε δυο σπίτια με σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου. Το ένα έχει διπλάσιο μήκος, πλάτος και ύψος από το άλλο. Κατά πόσο θα πρέπει να αυξηθεί η παροχή θερμότητας για να διατηρηθεί η ίδια θερμοκρασία και στο μεγαλύτερο όση και στο μικρότερο; Οταν και οι τρεις διαστάσεις a, b, c διπλασιάζονται και από axbxc πηγαίνουμε σε (2a) x (2b) x (2c) = 8(axbxc), τότε ο όγκος οκταπλασιάζεται. Σε σχέση όμως με τις εξωτερικές επιφάνειες ενός κυβικού σπιτιού, με ανάλογο συλλογισμό ο διπλασιασμός τετραπλασιάζει την εξωτερική συνολική επιφάνεια. Αρα θα πρέπει να τετραπλασιαστεί η παροχή θερμότητας για να αντισταθμίσει την αύξηση των απωλειών.

2. Για έναν τριψήφιο αριθμό «αβγ» με όλα τα ψηφία διάφορα του μηδενός θεωρούμε και τον «γβα» και κάνουμε την αφαίρεση μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα είναι διαιρετό με το 8. Ο αρχικός αριθμός «αβγ» είναι τέλειο τετράγωνο. Ζητούνται τα α, β, γ. Για τον τριψήφιο αβγ ισχύει: αβγ = 100α+10β+γ. Αντιστοίχως γβα = 100γ+10β+α. Αφού το α είναι διάφορο του γ. Αφαιρώντας (αβγ)-(γβα) (υποθέτοντας α>γ) έχουμε 99(α-γ). Αυτή η διαφορά δίδεται ότι διαιρείται ακριβώς με το 8. Αφού όμως το 99 δεν διαιρείται ακριβώς από το 8, σημαίνει ότι διαιρείται ακριβώς η διαφορά (α-γ). Αλλά αυτή η διαφορά δυο μονοψήφιων για να είναι διαιρετή διά 8 σημαίνει ότι (α-γ) = 8, άρα α=9 και γ=1. Αρα ο ζητούμενος είναι της μορφής 9β1. Με το β να έχει δυνατές τιμές από 1 έως 9. Μόνον όμως με β=6 έχουμε τέλειο τετράγωνο (31²). Με α<γ έχουμε 1β9 και τελικά β=6. Αρα 169 ή 961.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα