Η προηγούμενη αναφορά μας στον διάσημο σήμερα αλλά αγνοημένο τότε ούγγρο μαθηματικό Γιάνος Μποϊάι (1802-1860) τελείωνε με το γράμμα στον πατέρα του το 1823 που περιείχε και την εντυπωσιακή φράση: «Δημιουργείται ένας νέος κόσμος από το τίποτα». Που όμως λίγο πιο κάτω ανέφερε ότι δεν έχει υπάρξει ακόμη. Πάντως ο νέος αυτός κόσμος ήταν ένα εντυπωσιακό και κυρίως αξιόπιστο προχώρημα του ανθρώπινου μυαλού που βοήθησε αργότερα και τους αστρονόμους αλλά και τον ίδιο τον Αλμπερτ Αϊνστάιν στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας.

«Οι μαθηματικές ανακαλύψεις είναι σαν τους μενεξέδες την άνοιξη στο δάσος. Εχουν την εποχή τους»

Το παράδοξο ήταν πως τη νέα θεωρία την προχωρούσαν στο μυαλό τους μαθηματικοί που πρώτα είχαν προσπαθήσει να τεκμηριώσουν το ότι το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη μπορούσε να αποδειχθεί με βάση τα προηγούμενα τέσσερα (άρα δεν χρειαζόταν να τίθεται ως αξίωμα) και μετά άλλαξαν εντελώς κατεύθυνση. Ξεκινούσαν από την ιδέα ότι το αντικαθιστούσαν με κάτι που ήταν η άρνησή του. Δηλαδή ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας είτε δεν άγεται κάποια παράλληλη προς αυτήν είτε άγονται περισσότερες από μία.

Τα μεγάλα πνεύματα συναντώνται

Τρεις κορυφαίοι μαθηματικοί, Μποϊάι, Λομπατσέφσκι και Γκάους, εντελώς ανεξάρτητα και αγνοώντας ο ένας τη δουλειά του άλλου είχαν την ίδια εποχή καταλήξει στα ίδια συμπεράσματα. Ακόμη πιο απροσδόκητα φαίνεται πως αυτό σχετίζεται με κάτι που πρώτος ο Γκάους ανέφερε σε κάποιο γράμμα του το 1824: Το ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου μπορεί να είναι και μικρότερο από 180 μοίρες (όταν δεν βρίσκεται στο επίπεδο αλλά επάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια). Αυτά ήταν που άνοιγαν τον δρόμο για νέες γεωμετρίες που πάλι ο Γκάους τους έδωσε το πολύ περιγραφικό όνομα Μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες.

Οταν ο Γιάνος ολοκλήρωσε τη δουλειά του επάνω στο θέμα αυτό και την παρέδωσε στον πατέρα του να την εντάξει ως παράρτημα σε κάποιο δικό του μαθηματικό βιβλίο, εκείνος την έστειλε και στον Γκάους. Που ούτε λίγο ούτε πολύ του απήντησε πως αυτά τα είχε και εκείνος στο μυαλό του τα προηγούμενα τριάντα χρόνια. Και εδώ καταλαβαίνουμε πως ο Γιάνος είχε αρχίσει να αντιμετωπίζει τον κόσμο γύρω του με αφύσικο τρόπο. Σκέφθηκε ακόμη και πως ο Γκάους τα έλεγε αυτά ενώ στην πραγματικότητα είχε αντιγράψει τη δουλειά του και η ψυχική του κατάσταση διαταράχθηκε ακόμη περισσότερο.

Ψυχική ανισορροπία

Το 1833 παραιτείται από τον στρατό εξαιτίας ενός επίμονου πυρετού με μάλλον ψυχοσωματικά αίτια. Συνδέεται με μια γυναίκα αλλά δεν μπορεί να βρει καν τα χρήματα που απαιτούσε τότε ο νόμος να κατατεθούν υποχρεωτικά πριν από έναν γάμο! Χρόνια μεγάλης φτώχειας ακολουθούν.

Τελικά χωρίζει  με τη σύζυγό του που είχε μαζί της ήδη δύο παιδιά, αποτραβήχτηκε σε ένα παλιό πατρικό σπίτι όπου έζησε τα υπόλοιπα χρόνια χωρίς να ασχολείται με το να εκδίδει μαθηματικές εργασίες ενώ γέμιζε με πραγματική μανία περίπου 20.000 σελίδες με τις σκέψεις του. Εως ότου βρήκε τον θάνατο από πνευμονία το 1860.

Ισως την παρακάτω φράση του βασανισμένου μαθηματικού να αξίζει να τη συμπεριλάβουμε στη σύντομη αναφορά μας στη ζωή του: «Οι μαθηματικές ανακαλύψεις είναι σαν τους μενεξέδες την άνοιξη στο δάσος. Εχουν την εποχή τους, που κανένας άνθρωπος δεν μπορεί να επισπεύσει ή να επιβραδύνει».

Πνευματική Γυμναστική

1.  Ενας θετικός ακέραιος έχει 8 θετικούς ακεραίους αριθμούς που τον διαιρούν ακριβώς. Στους 8 συμπεριλαμβάνονται ο 1, ο εαυτός του, το 21 και το 35. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

2. Να τοποθετηθούν στη σωστή τους θέση στα κενά οι αριθμοί 7, 8, 9 στη «μυστηριώδη» πεπερασμένη (=δεν υπάρχουν άλλα μέλη) ακολουθία: -, 5, 4, -, 1, -, 6, 3, 2, 0.

3.  Σε ένα παλαιότερο κουίζ προσθέτουμε τώρα το κάτι παραπάνω: Εχουμε 11 μικρές σιδερένιες σφαίρες, όλες με το ίδιο βάρος και μία 12η που είναι διαφορετική, ελαφρύτερη ή βαρύτερη δεν ξέρουμε. Με τον γνωστό ζυγό με τους δύο δίσκους εκατέρωθεν, θέλουμε να εντοπίσουμε αυτή τη σφαίρα και να μάθουμε αν είναι ελαφρύτερη ή βαρύτερη με 3 ζυγίσεις. Επιπλέον όμως τώρα ζητούμε ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός σφαιρών από τον οποίο μπορούμε να βρούμε τη διαφορετική με 4, 5 και ν ζυγίσεις αντίστοιχα.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Ενα παλιό, του Σαμ Λόιντ, για τους μικρότερους αναγνώστες της σελίδας: Μισθώνει κάποιος ένα άλογο με τον οδηγό-ιδιοκτήτη του για να πάει από το χωριό Α στο Χ περνώντας ενδιάμεσα από το Π, όλα σε μια ευθεία. Μετά από πορεία 40 λεπτών ρώτησε τον οδηγό πόσο είχαν κάνει και εκείνος του απαντά «έχουμε κάνει τον μισό χρόνο από όσο είναι από τώρα μέχρι το Π». Μετά από 7 ακόμη χιλιόμετρα ρώτησε ακόμη μία φορά «πόσο έχουμε έως το Χ;». «Το μισό από ό,τι για να πάμε πίσω έως το Π» ήταν η απάντηση. Και έφθασαν μετά από 1 ακόμη ώρα στον προορισμό τους στο Χ. Ζητείται η απόσταση από το Α στο Χ. Ας δούμε ένα στοιχειώδες σκαρίφημα:
Α _ _ _ _ _α_ _ _ _Π _ _ _ β_ _ _ _ _Χ. Στο α γίνεται η πρώτη ερώτηση. Αρα μέχρι το Π χρειάστηκαν 40 + 2 x 40 = 120 λεπτά. Στο β γίνεται η δεύτερη ερώτηση. Επειδή έως το Χ έκαναν μία ώρα από το Π στο β θα έκαναν 2 ώρες, άρα από το Π έως το Χ χρειάστηκαν 3 ώρες ή 180 λεπτά. Συνολικά το ταξίδι τους διήρκεσε 120+180=300 λεπτά. Από το α έως το β με βάση τις ερωτήσεις και τις απαντήσεις βγαίνει ότι χρειάστηκαν 80+120=200 λεπτά. Και σε αυτά διήνυσαν 7 χιλιόμετρα. Αρα συνολικά διήνυσαν 7x(3/2)=10,5 χιλιόμετρα.
2. Τρεις διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι έχουν την ιδιότητα ο καθένας τους να διαιρεί ακριβώς το άθροισμα των άλλων δύο. Ζητούνται οι τριάδες των αριθμών που ικανοποιούν την παραπάνω ιδιότητα. Αν λοιπόν είναι α,β,γ οι τρεις αριθμοί, με τη διάταξη 0<α<β<γ θα ισχύει ότι α<γ και β<γ, άρα α+β<2γ. Επειδή όμως το γ διαιρεί ακριβώς το (α+β) θα ισχύει ότι (α+β)=κxγ, όπου ο κ θα είναι θετικός ακέραιος. Αλλά τότε κxγ<2γ. Αυτή η ανισότητα για να ισχύει θα πρέπει το κ=1, άρα (α+β)=γ. Ψάχνουμε λοιπόν για το ποιοι είναι οι α, β, (α+β). Αφού ο καθένας διαιρεί ακριβώς το άθροισμα των δύο άλλων θα πρέπει ο β να διαιρεί και το (α+β) + α = 2α+β και αυτό με τη σειρά του σημαίνει πως θα διαιρεί υποχρεωτικά και το 2α. Αλλά β>α, άρα 2β>2α, οπότε δεν μπορεί παρά να είναι β=2α και τότε γ=3α. Επομένως οι τριάδες (α,β,γ) που ζητούμε είναι της μορφής (ν,2ν,3ν) με ν θετικό ακέραιο.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα