Ας δούμε ένα από τα προβλήματα της προηγούμενης Κυριακής και κάποια χρήσιμα συμπεράσματα που προκύπτουν κατά τη διάρκεια της λύσης. Ζητούσαμε όλους τους θετικούς αριθμούς ν, που το άθροισμά τους 1!+2!+3!+4!+…+ν! είναι τέλειο τετράγωνο. Στην συνέχεια και κάτι ακόμη: Τους θετικούς ακεραίους ν που κάνουν το άθροισμα (ν! + 2023) τέλειο τετράγωνο.

Αρχίζουμε όμως από τα «εύκολα», δηλαδή από το ότι 1! = 1 που είναι και ένα τέλειο τετράγωνο (1×1 = 1). Για ν = 2 έχουμε  1! + 2! = 1 + 1×2 = 3, που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Για ν = 3 έχουμε το άθροισμα 1! + 2! + 3! = 1+2+6 = 9 που είναι. Για ν = 4 το 1! + 2! + 3! +4! = 33 που δεν είναι. Από το ν = 5 και πέρα συμβαίνει το ν! να τελειώνει πάντα σε 0. Οπότε με την άθροιση και των 1! + 2! + 3! +4! = 33 το άθροισμα θα λήγει πάντα σε 3 οπότε αποκλείεται να είναι τέλειο τετράγωνο (θα έπρεπε να λήγει σε 1, 4 ή 9 ως μια πρώτη προϋπόθεση ενώ και πάλι μπορεί να μη συμβαίνει τελικά κάτι τέτοιο). Αρα η απάντηση είναι: 1 και 3 οι ζητούμενοι αριθμοί.

Για το επόμενο ερώτημα παρατηρούμε πως το ν!, για κάθε ν μεγαλύτερο του 1, είναι πάντα άρτιος αριθμός. Οπότε το άθροισμα του ν με τον περιττό 2023 θα δίνει πάντα περιττό αριθμό. Εξετάζουμε πρώτα τι συμβαίνει για ν μεγαλύτερο ή ίσον του 4. Και εκεί να έχουμε υπόψη μας πως το ν! δίνει ως αποτελέσματα αριθμούς διαιρετούς ακριβώς από το 4. Αρα ο ν! + 2023 όταν διαιρείται από τον 4 θα δίνει πάντα υπόλοιπο 3. Υποθέτουμε τώρα πως ο [ν! +2023] είναι τέλειο τετράγωνο, και επειδή καταλήξαμε ήδη πως θα είναι περιττός θα είναι της μορφής: (2κ+1), οπότε ξεκινάμε από τη σχέση: ν!+2023 = (2κ+1)² που δίνει ν! + 2023 = 4κ² + 4κ + 1 = 4(κ² + κ) + 1. Αρα ο (ν! + 2023) όταν διαιρεθεί με βάση την υπόθεση που κάναμε θα πρέπει να δίνει υπόλοιπο 1. Ομως ήδη είχαμε αποδείξει πως θα δίνει υπόλοιπο 3, οπότε είναι άτοπη η υπόθεση πως είναι τέλειο τετράγωνο για ν ίσο ή μεγαλύτερο του 4. Μένουν επομένως προς εξέταση οι περιπτώσεις για ν = 1, 2, 3.

ν = 1: τότε ν! + 2023 = 2024 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

ν = 2: τότε ν! + 2023 = 2025 που είναι τέλειο τετράγωνο (45² = 2025).

ν = 3: ν! + 2023 = 2029 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Αρα μόνον για ν = 2 είναι τέλειο τετράγωνο ο ν! + 2023.

Δυο σφαίρες και ένα όπλο

Ενας απαγωγέας διαθέτει όπλο ρεβόλβερ με 6 θαλάμες για τις σφαίρες. Τοποθετεί δύο σφαίρες σε δύο διαδοχικές θαλάμες και δίνει στροφές στον μύλο του όπλου. Ολα αυτά μπροστά στο θύμα της απαγωγής. Στη συνέχεια στρέφει το όπλο εναντίον του απαχθέντος, πιέζει τη σκανδάλη και πέφτει σε άδεια θαλάμη. Ετσι δεν σκοτώνεται το θύμα της απαγωγής. Στη συνέχεια προσφέρει στο θύμα του την εξής επιλογή: 1) Να τον πυροβολήσει ξανά χωρίς να περιστραφεί ξανά ο μύλος ή 2) Να περιστρέψει τον μύλο και μετά να πυροβολήσει. Αν επιβιώσει και τη δεύτερη αυτή φορά απελευθερώνεται.

Ποια πιστεύετε ότι θα έπρεπε να είναι η επιλογή του απαχθέντος για να μεγιστοποιήσει τις πιθανότητες επιβίωσής του;

Λύση

Εχουμε δύο σφαίρες σε διαδοχικές θαλάμες και τέσσερις κενές που τις ταυτοποιούμε ως Α, Β, Γ και Δ. Το ότι ενώ πατήθηκε η σκανδάλη δεν είχαμε βολή σφαίρας σημαίνει πως βρισκόταν σε άδεια θαλάμη. Αλλά δεν γνωρίζουμε σε ποια. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Α) Χωρίς περιστροφή του μύλου: Αν στην προηγούμενη άσφαιρη βολή ο επίμαχη θαλάμη ήταν η Α τώρα θα είναι στη θέση της η Β. Αν ήταν η Β τώρα θα είναι η Γ, αν ήταν η Γ τώρα θα είναι η Δ, οπότε κανένας κίνδυνος σε αυτές τις περιπτώσεις. Αν όμως βρισκόταν στην αρχή στη θέση Δ τώρα θα φύγει μια σφαίρα από το όπλο. Αρα 1 στις 4 θέσεις, δηλαδή 25%, μετά την πρώτη πίεση της σκανδάλης είναι η επικίνδυνη.

Β) Με περιστροφή του μύλου: Εχουμε και εδώ μια πρώτη άσφαιρη και μετά 2 θαλάμες με σφαίρα και 4 άδειες. Δηλαδή 2 στις 6 ή, απλοποιώντας, 1 στις 3, δηλαδή 33,3%. Οπότε είναι φανερό πως θα πρέπει να προτιμήσει να μην προηγηθεί περιστροφή του μύλου.

Πνευματική γυμναστική

1. Βλέπεις ξαφνικά ένα ωραίο πουκάμισο σε μια βιτρίνα, κοστίζει 97 ευρώ, αλλά δεν έχεις λεφτά ή κάρτα μαζί σου. Είσαι  όμως με δύο φίλους ή φίλες οπότε σου δίνουν από ένα 50άρικο. Παίρνεις το πουκάμισο και τα 3 ευρώ ρέστα. Βάζεις το 1 ευρώ στην τσέπη και τους δίνεις από 1 ευρώ. Τους υπόσχεσαι πως θα πάρουν πίσω και από 49 ευρώ. Φθάνοντας στο σπίτι λογαριάζεις 49+49 = 98 + 1 ευρώ στην τσέπη 99, λείπει 1; Είναι 99+2 που τους έδωσες = 101; Πώς γίνεται;

2. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος τριψήφιος θετικός ακέραιος που μπορεί να γραφτεί και με τν μορφή «ν + √ν» (δηλαδή ν συν τετραγωνική ρίζα ν);

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Ενας θετικός ακέραιος χαρακτηρίζεται ως mystical αν είναι τουλάχιστον διψήφιος και έχει το εξής χαρακτηριστικό: Αρχίζοντας από αριστερά κάθε δύο διαδοχικά ψηφία του να σχηματίζουν αριθμό που να είναι τέλειο τετράγωνο. Ζητούμε τον μεγαλύτερο πενταψήφιο mystical number. Ποιοι διψήφιοι είναι τέλεια τετράγωνα; Είναι: 16, 25, 36, 49, 64, και 81. Το ψηφίο των δεκάδων δεν είναι κοινό σε κανένα ζευγάρι. Αρα σε έναν από αυτούς τους mystical αριθμούς που αναζητούμε θα ψάχνουμε για κοινά ψηφία μεταξύ των δεκάδων του ενός και των μονάδων του άλλου. Π.χ. μετά το ψηφίο 1 πάμε στο 6 που υπάρχει ως πρώτο ψηφίο στο 64 και εξαιτίας του 4 εκεί θα πάμε αναγκαστικά στο 49. Οπότε προκύπτει ο 1649. Αυτός είναι και ο μοναδικός τετραψήφιος  mystical number με αριστερό ψηφίο του το 1. Για το 2 δεν υπάρχει άλλος από τον διψήφιο 25. Ανάλογα βρίσκουμε πως για το 3 είναι ο 3649, για το 4 ο 49 ενώ δεν υπάρχει κάποιος που να αρχίζει από 5,7,9. Οπότε ο μεγαλύτερος θα είναι ο 81649.

2. Σε  σχολείο έχει δημιουργηθεί μια ομάδα παιδιών από την τελευταία τάξη του Δημοτικού και την πρώτη του Γυμνασίου που αγαπούν τα Μαθηματικά.  Στην τάξη του Δημοτικού το 60% είναι αριστερόχειρες, το 40% δεξιόχειρες. Από την τάξη του Γυμνασίου 10% αριστερόχειρες, 90% δεξιόχειρες. Κανένα παιδί δεν γράφει και με τα δύο χέρια. Οι δεξιόχειρες μαθητές είναι όσοι και οι αριστερόχειρες. Ποιο είναι το ποσοστό των παιδιών του Δημοτικού σε αυτή τη μεικτή ομάδα; Ας είναι ο αριθμός των μαθητών από το Δημοτικό Δ και από το Γυμνάσιο Γ. Οι αριστερόχειρες είναι το 60% του συνόλου των Δ, δηλαδή 0,6Δ και οι δεξιόχειρες προφανώς 0,4Δ. Οι αριστερόχειρες στο Γυμνάσιο είναι 0,1Γ και οι δεξιόχειρες 0,9Γ. Επειδή ο αριθμός των παιδιών που είναι δεξιόχειρες ισούται με τον αριθμό των αριστερόχειρων θα ισχύει: 0.6Δ + 0.1Γ = 0.4Δ + 0.9Γ, που δίνει τελικά 0,2Δ = 0,8Γ ή Δ = 4Γ. Αναλογία 1 προς 4. Εδώ θέλει προσοχή διότι τα παιδιά κάνουν συχνά λάθος. Αναλογία 4 προς 1 σημαίνει πως στους (4+1=) 5 οι τέσσερις είναι στο Γυμνάσιο άρα 80%, οπότε 20% στο Δημοτικό.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα